Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）若函數(shù)僅在處取得極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn)，，，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析.

【解析】

(1)，因?yàn)?/span>僅在處取得極值，則.再對a 分類討論，利用數(shù)形結(jié)合分析得到a的取值范圍；(2)由題得，由題意則有三個(gè)根，則有兩個(gè)零點(diǎn)，有一個(gè)零點(diǎn)，，再利用分析法證明.

解：（1）由，得，

由僅在處取得極值，則，即.

令，則，當(dāng)單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，

則，

∴當(dāng)時(shí)，，此時(shí)僅一個(gè)零點(diǎn)，

則僅一個(gè)為極值點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，與在同一處取得零點(diǎn)，此時(shí)，，

，，

∴僅一個(gè)零點(diǎn)，則僅一個(gè)為極值點(diǎn)，所以a=e.

當(dāng)a＞e時(shí)，顯然與已知不相符合.

∴.

（2）由，則.

由題意則有三個(gè)根，則有兩個(gè)零點(diǎn)，

有一個(gè)零點(diǎn)，，

令，則，

∴當(dāng)時(shí)取極值，時(shí)單調(diào)遞增，

∴，則時(shí)有兩零點(diǎn)，，且，

若證：，即證：，

由，，則，

即證： ，

由在上單調(diào)遞增，即證：，

又，則證，

令，，

∴ .

∴恒成立，則為增函數(shù)，

∴當(dāng)時(shí)，，

∴得證.