Question

已知函數f(x)=ax-

b

x

-2lnx，f(1)=0．
（1）若函數f（x）在其定義域內為單調函數，求a的取值范圍；
（2）若函數f（x）的圖象在x=1處的切線的斜率為0，且an+1=f′(

1

an-n+1

)-n2+1，已知a₁=4，求證：a_n≥2n+2；
（3）在（2）的條件下，試比較

1

1+a1

+

1

1+a2

+

1

1+a3

+…+

1

1+an

與

2

5

的大小，并說明你的理由．

Answer 1

分析：（1）根據函數單調性與導數的關系，f（x）在其定義域內為單調函數，在（0，+∞）內f′（x）恒大于0或恒小于0，轉化為恒成立問題去解決．
（2）根據導數的幾何意義，f'（1）=0，求出a，確定f（x），f′（x）繼而得出an+1的表達式，最后用數學歸納法證明．
（3）在（2）的條件下，將各項適當放縮，能得出

1

1+an

≤

1

2n-1

•

1

1+a1

(n≥2)，再結合等比數列求和公式化簡不等式左邊，去與

2

5

比較．

解答：解：（1）f（1）=a-b=0?a=b，
∴f(x)=ax-

a

x

-2lnx，
∴f′(x)=a+

a

x2

-

2

x

．
要使函數f（x）在定義域（0，+∞）內為單調函數，則在（0，+∞）內f′（x）恒大于0或恒小于0，
當a=0時，f′(x)=-

2

x

＜0在（0，+∞）內恒成立；
當a＞0時，要使f′(x)=a(

1

x

-

1

a

)2+a-

1

a

＞0恒成立，則a-

1

a

＞0，解得a＞1，
當a＜0時，要使f′(x)=a(

1

x

-

1

a

)2+a-

1

a

＜0恒成立，則a-

1

a

＜0，解得a＜-1，
所以a的取值范圍為a＞1或a＜-1或a=0．
（2）根據題意得：f'（1）=0，即a+a-2=0，得a=1，∴f′(x)=(

1

x

-1)2，
于是an+1=f′(

1

an-n+1

)=(an-n)2-n2+1=

a

2 n

-2nan+1，
用數學歸納法證明如下：
當n=1時，a₁=4≥2×1+2，不等式成立；
假設當n=k時，不等式a_k≥2k+2成立，即a_k-2k≥2也成立，
當n=k+1時，a_k+1=a_k（a_k-2k）+1≥（2k+2）×2+1=4k+5＞2（k+1）+2，
所以當n=k+1，不等式也成立，
綜上得對所有n∈N^*時5，都有a_n≥2n+2．
（3）由（2）得a_n=a_n-1（a_n-1-2n+2）+1≥a_n-1[2（n-1）+2-2n+2]+1=2a_n-1+1，
于是a_n+1≥2（a_n-1+1）（n≥2），
所以a₂+1≥2（a₁+1），a₃+1≥2（a₂+1）…a_n+1≥2（a_n-1+1），
累乘得：an+1≥2n-1(a1+1)，則

1

1+an

≤

1

2n-1

•

1

1+a1

(n≥2)，
所以

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+an

≤

1

1+a1

(1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

)=

2

5

(1-

1

2n

)＜

2

5

．

點評：本題考查函數單調性與導數的關系，數學歸納法，等比數列求和，考查分析解決、轉化、放縮，計算等能力與方法．是難題．