【題目】知f(x)=xlnx,g(x)=﹣x2+ax﹣3.
(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+2](t>0)上的最小值;
(2)對一切實數(shù)x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)證明對一切x∈(0,+∞),lnx> 恒成立.

【答案】
(1)解:f′(x)=lnx+1,

當(dāng)x∈(0, ),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x∈( ,+∞),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,

①0<t<t+2< ,t無解;

②0<t< <t+2,即0<t< 時,f(x)min=f( )=﹣ ;

≤t<t+2,即t≥ 時,f(x)在[t,t+2]上單調(diào)遞增,f(x)min=f(t)=tlnt;

則f(x)min= ;


(2)解:2xlnx≥﹣x2+ax﹣3,則a≤2lnx+x+ ,

設(shè)h(x)=2lnx+x+ (x>0),則h′(x)= ,x∈(0,1),

當(dāng)h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞增,x∈(1,+∞),h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞減,

則h(x)min=h(1)=4,

∵對一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,

∴a≤h(x)min=4;


(3)證明:問題等價于證明xlnx> (x∈(0,+∞)),

由(1)可知f(x)=xlnx(x∈(0,+∞))的最小值是﹣ ,當(dāng)且僅當(dāng)x= 時取到,

設(shè)m(x)= (x∈(0,+∞)),

則m′(x)= ,易得m(x)max=m(1)=﹣ ,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取到,

則對一切x∈(0,+∞),都有l(wèi)nx> 成立.


【解析】(1)求出f(x)的導(dǎo)函數(shù),利用導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)得到導(dǎo)函數(shù)小于0時,函數(shù)單調(diào)遞減;導(dǎo)函數(shù)大于0時,函數(shù)單調(diào)遞增,進而確定出f(x)的最小值;(2)把f(x)與g(x)解析式代入已知不等式,整理后設(shè)h(x)=2lnx+x+ (x>0),求出h(x)的導(dǎo)函數(shù),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷其增減性,進而求出h(x)的最小值,即可確定出a的范圍;(3)所證不等式兩邊乘以x,左邊為f(x),右邊設(shè)為m(x)= (x∈(0,+∞)),求出左邊的最小值,以及右邊的最大值,比較即可得證.
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識點,需要掌握求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值才能正確解答此題.

練習(xí)冊系列答案
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B.
C.
D.

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(1)寫出命題Q的否命題¬Q;并求出實數(shù)m的取值范圍,使得命題¬Q為真命題;
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【題目】某高中為了解高中學(xué)生的性別和喜歡打籃球是否有關(guān),對50名高中學(xué)生進行了問卷調(diào)查,得到如下列聯(lián)表:

喜歡打籃球

不喜歡打籃球

合計

男生

5

女生

10

合計

已知在這50人中隨機抽取1人,抽到喜歡打籃球的學(xué)生的概率為
(Ⅰ)請將上述列聯(lián)表補充完整;
(Ⅱ)判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為喜歡打籃球與性別有關(guān)?
附:K2=

p(K2≥k0

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k0

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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(2)AC1A1B,求證:AC1BC.

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(1)畫出這個幾何體的直觀圖(不要求寫畫法).

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