Question

【題目】已知直線l的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)），曲線C的參數(shù)方程為 （θ為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（2 ， ）． （Ⅰ）求直線l以及曲線C的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求△PAB的面積．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵直線l的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)），

消去參數(shù)t，得到直線l的普通方程為y= ，

∴ ，∴ ，

∴直線l的極坐標(biāo)方程為 （ρ∈R），

∵曲線C的參數(shù)方程為 （θ為參數(shù)），

∴曲線C的普通方程為：（x﹣1）2+（y﹣2 ）2=4，

則（ρcosθ﹣1）2+（ ）2=4，

則曲線C的極坐標(biāo)方程為 ．

（Ⅱ）由 ，

得到ρ2﹣7ρ+9=0，設(shè)其兩根為ρ1，ρ2，

則ρ1+ρ2=7，ρ1ρ2=9，

∴|AB|=|ρ2﹣ρ1|= = ，

∵點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（ ），∴|OP|=2 ， ，

∴△PAB的面積：S△PAB=|S△POB﹣S△POA|= = ．

【解析】（Ⅰ）直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)t，得到直線l的普通方程為y= ，由此能求出直線l的極坐標(biāo)方程；曲線C的參數(shù)方程消去參數(shù)θ，得曲線C的普通方程，由此能求出曲線C的極坐標(biāo)方程．（Ⅱ）由 ，得到ρ2﹣7ρ+9=0，由韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式求出|AB|，△PAB的面積S△PAB=|S△POB﹣S△POA|，由此能求出結(jié)果．