Question

在2014-2015賽季的CBA（中國職業(yè)籃球）常規(guī)賽中，甲、乙兩隊要進行三場比賽，在三場比賽中，甲隊兩個主場一個客場，乙隊一個主場兩個客場，按以往多年的比賽統(tǒng)計，兩隊主客場的勝負概率如下表，按照比賽規(guī)定，每場勝隊得2分，負隊得1分（比賽結果只有勝負兩種可能，如果出現(xiàn)平局時就加時，直至分出勝負為止），設甲、乙兩隊最后所得的總分分別為ξ、η，且ξ+η=9．

主客場	甲隊勝	乙隊勝
甲對主場	2 3	1 3
乙隊主場	1 3	2 3

（1）甲隊得5分的概率；
（2）求ξ的分布列，并用統(tǒng)計學知識說明兩個隊的實力情況．

Answer 1

考點：離散型隨機變量及其分布列

專題：分類討論,概率與統(tǒng)計

分析：（1）根據(jù)題意：甲勝2場，負1場，即甲隊對主場勝2場和甲隊主場勝1場，根據(jù)已知概率求解即可．
（2）根據(jù)題意可得：ξ=3，4，5，6，分別求解：P（ξ=3）=

2

27

，P（ξ=4）=

C

1 2

×

2

3

×

1

3

×

2

3

+

C

2 2

（

1

3

）²×

1

3

=

1

3

，P（ξ=5）=

4

9

，P（ξ=6）=

C

2 2

×（

2

3

）²×

1

3

=

4

27

，列出分布列，根據(jù)公式求解數(shù)學期望．

解答： 解：（1）根據(jù)題意可得：
∵甲隊得5分的情況是，甲勝2場，負1場，
∴甲隊對主場勝2場和甲隊主場勝1場，兩種情況．
∴甲隊得5分的概率為：

C

2 2

（

2

3

）²×

2

3

+

C

1 2

×

2

3

×

1

3

×

1

3

=

4

9

（2）甲、乙兩隊最后所得的總分分別為ξ、η，且ξ+η=9．
根據(jù)題意可得：ξ=3，4，5，6
∴P（ξ=3）=

2

27

，P（ξ=4）=

C

1 2

×

2

3

×

1

3

×

2

3

+

C

2 2

（

1

3

）²×

1

3

=

1

3

，
P（ξ=5）=

4

9

，P（ξ=6）=

C

2 2

×（

2

3

）²×

1

3

=

4

27

，

ξ	3	4	5	6
P	2 27	1 3	4 9	4 27

E_ξ=3×

2

27

+4×

1

3

+5×

4

9

+6×

4

27

=

14

3

，∵E_ξ+Eη=3×3=9，
∴Eη=

13

3

，說明兩個隊的實力相當，甲稍微強一點．

點評：本題考查了離散型的隨機變量的概率與分布列，關鍵是確定隨機變量的值，求解概率，屬于中檔題．