Question

【題目】已知函數(shù)g（x）=ax2﹣2ax+b+1（a＞0）在區(qū)間[2，3]上有最大值4和最小值1．設(shè)f（x）= ．
（1）求a、b的值；
（2）若不等式f（2x）﹣k2x≥0在x∈[﹣1，1]上有解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)g（x）=ax2﹣2ax+b+1=a（x﹣1）2+1+b﹣a，

因?yàn)閍＞0，所以g（x）在區(qū)間[2，3]上是增函數(shù)，故 ，解得

（2）解：由已知可得f（x）=x+ ﹣2，所以，不等式f（2x）﹣k2x≥0可化為 2x+ ﹣2≥k2x，

可化為 1+ ﹣2 ≥k，令t= ，則 k≤t2﹣2t+1．

因 x∈[﹣1，1]，故 t∈[ ，2]．故k≤t2﹣2t+1在t∈[ ，2]上能成立．

記h（t）=t2﹣2t+1，因?yàn)?t∈[ ，2]，故 h（t）max =h（2）=1，

所以k的取值范圍是（﹣∞，1]

【解析】（1）由函數(shù)g（x）=a（x﹣1）2+1+b﹣a，a＞0，所以g（x）在區(qū)間[2，3]上是增函數(shù)，故 ，由此解得a、b的值．（2）不等式可化為 2x+ ﹣2≥k2x ， 故有 k≤t2﹣2t+1，t∈[ ，2]，求出h（t）=t2﹣2t+1的最大值，從而求得k的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值和函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，掌握當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)在上遞減，當(dāng)時(shí)，；二次函數(shù)的零點(diǎn)：（1）△＞0，方程 有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與 軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn);（2）△＝0，方程 有兩相等實(shí)根（二重根），二次函數(shù)的圖象與 軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn);（3）△＜0，方程 無實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與 軸無交點(diǎn)，二次函數(shù)無零點(diǎn)即可以解答此題．