Question

【題目】已知f（x）= ，x∈（﹣2，2）
（1）判斷f（x）的奇偶性并說明理由；
（2）求證：函數(shù)f（x）在（﹣2，2）上是增函數(shù)；
（3）若f（2+a）+f（1﹣2a）＞0，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）= 是定義域（﹣2，2）上的奇函數(shù)，

理由如下，

任取x∈（﹣2，2），有f（﹣x）= =﹣ =﹣f（x），

所以f（x）是定義域（﹣2，2）上的奇函數(shù)

（2）證明：設(shè)x1，x2為區(qū)間（﹣2，2）上的任意兩個值，

且x1＜x2，則

= ；

因為﹣2＜x1＜x2＜2，

所以 x2﹣x1＞0，x1x2﹣4＜0，

即f（x1）﹣f（x2）＜0；

所以函數(shù)f（x）在（﹣2，2）上是增函數(shù)

（3）解：因為f（x）為奇函數(shù)，

所以由f（2+a）+f（1﹣2a）＞0，

得f（2+a）＞﹣f（1﹣2a）=f（2a﹣1），

又因為函數(shù)f（x）在（﹣2，2）上是增函數(shù)，

所以 ；

解得 ，

即實數(shù)a的取值范圍是（﹣ ，0）

【解析】（1）利用奇偶性的定義判斷函數(shù)f（x）是定義域上的奇函數(shù)；（2）根據(jù)單調(diào)性的定義證明f（x）是（﹣2，2）上的增函數(shù)；（3）根據(jù)f（x）為奇函數(shù)且在（﹣2，2）上是增函數(shù)，轉(zhuǎn)化不等式f（2+a）+f（1﹣2a）＞0，求出a的取值范圍．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)單調(diào)性的判斷方法的相關(guān)知識，掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較，以及對函數(shù)的奇偶性的理解，了解偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱．