Question

在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C所對(duì)的邊，且asinA+（a+b）sinB=csinC．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）若c=1，求△ABC的周長(zhǎng)l的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理的應(yīng)用,正弦定理的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,解三角形

分析：（Ⅰ）知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)得到關(guān)系式，再利用余弦定理表示出cosC，將得出的關(guān)系式代入求出cosC的值，即可確定出角C；
（Ⅱ）余弦定理得，c²=a²+b²-2abcos120°=a²+b²+ab，再利用基本不等式，可得a+b≤

2 3

3

，即可求△ABC的周長(zhǎng)l的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）已知等式asinA+（a+b）sinB=csinC，利用正弦定理化簡(jiǎn)得：a²+b²-c²=-ab，
∴cosC=-

1

2

，
∵C為三角形內(nèi)角，
∴C=

2π

3

；
（Ⅱ）由余弦定理得，c²=a²+b²-2abcos120°=a²+b²+ab，
而c=1，故1=（a+b）²-ab≥（a+b）²-(

a+b

2

)2=

3

4

（a+b）²，
∴a+b≤

2 3

3

，
又a+b＞c=1，
∴2＜a+b+c≤

2 3

3

+1，
即2＜l≤

2 3

3

+1．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，以及三角形的周長(zhǎng)的計(jì)算，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．