Question

試比較函數(shù)y=x²與函數(shù)y=xlnx在區(qū)間（1，+∞）上的增長(zhǎng)快慢．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：利用冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)速度的差異，當(dāng)x足夠大時(shí)，函數(shù)y=x²導(dǎo)數(shù)遠(yuǎn)大于函數(shù)y=xlnxd的導(dǎo)數(shù)，故在（1，+∞）上增長(zhǎng)較快的是冪函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)較慢．

解答： 解：函數(shù)y=x²導(dǎo)數(shù)的為y′=2x，函數(shù)y=xlnx的導(dǎo)數(shù)為 y′=lnx+1，
設(shè)g（x）=2x-（lnx+1）=2x-lnx-1，
則g′（x）=2-

1

x

，
當(dāng)x→+∞時(shí)，g′（x）=2-

1

x

＞0，即函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，
則g（x）＞g（1）=2-1=1＞0，
即2x＞lnx+1，
故函數(shù)y=x²與函數(shù)y=xlnx在區(qū)間（1，+∞）上增長(zhǎng)較快的一個(gè)是函數(shù) y=x²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)速度的差異，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．