Question

【題目】如圖，長方體中， ， ，點， ， 分別為， ， 的中點，過點的平面與平面平行，且與長方體的面相交，交線圍成一個幾何圖形.

（1）在圖中畫出這個幾何圖形（說明畫法，不需要說明理由）；

（2）求二面角 的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2） .

【解析】試題分析：（1）利用平行關(guān)系作圖；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩個法向量， ， ，求出二面角。

試題解析：

（1）取的中點，連接， ， ， ，則交線圍成的幾何圖形如圖：

（2）因為點， 分別為， 的中點， ，

所以，

以為坐標(biāo)原點， 的方向為 軸的正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系 ，則 ， ， ，

， .

設(shè) 是平面的法向量，則 ，即

所以可取.

同理可求平面的一個法向量為

因為

所以二面角 的余弦值為

試題分析：本題考查立體幾何的二面角求解。一般的，在容易建系的立體幾何問題中，采取空間直角坐標(biāo)系解題比較方便，可以避免找角或其他技巧性方法，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)計算，只需掌握解題套路，即可解決問題。