已知橢圓：經(jīng)過(guò)如下五個(gè)點(diǎn)中的三個(gè)點(diǎn)：，，，，.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)，為橢圓上不同于點(diǎn)的兩點(diǎn)，若原點(diǎn)在的外部，且為直角三角形，求面積的最大值.
（Ⅰ）；（Ⅱ）

試題分析：（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033610107714.png" style="vertical-align:middle;" />和關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由橢圓的對(duì)稱性可知和在橢圓上。因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033610154698.png" style="vertical-align:middle;" />在橢圓上則和不在橢圓上。所以在橢圓上。解方程組可得的值。（Ⅱ）需討論哪個(gè)角為直角只討論和即可，因?yàn)辄c(diǎn)的位置沒(méi)有固定，和的情況相同。如當(dāng)時(shí)，設(shè)直線，聯(lián)立方程消去消去得關(guān)于的一元二次方程，由韋達(dá)定理得根與系數(shù)的關(guān)系。根據(jù)，則直線垂直其斜率相乘等于，列式計(jì)算可得，則說(shuō)明原點(diǎn)在的外部，符合條件，否則不符合條件舍掉。在求面積時(shí)若采用先求弦再求點(diǎn)到的距離最后求面積的方法計(jì)算過(guò)于繁瑣，所以求的面積時(shí)可用分割法，計(jì)算較簡(jiǎn)單。
試題解析：解：（Ⅰ）由知，和不在橢圓上，即橢圓經(jīng)過(guò)，，.
于是.
所以 橢圓的方程為：.                                 2分
（Ⅱ）①當(dāng)時(shí)，設(shè)直線，由得
.設(shè)，則，
所以

.
于是，此時(shí)，所以 直線.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240336111051008.png" style="vertical-align:middle;" />，故線段與軸相交于，即原點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，即原點(diǎn)在的外部，符合題設(shè).                           6分
所以

.
當(dāng)時(shí)取到最大值.                                        9分
②當(dāng)時(shí)，不妨設(shè).
設(shè)直線，由得.
所以 或.
所以，由，可得直線.
由得.
所以.
所以線段與軸相交于.
顯然原點(diǎn)在線段上，即原點(diǎn)在的內(nèi)部，不符合題設(shè).
綜上所述，所求的面積的最大值為.                           12分
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，P是橢圓上一點(diǎn)，且面積的最大值等于2．
(1)求橢圓的方程；
(2)直線y=2上是否存在點(diǎn)Q，使得從該點(diǎn)向橢圓所引的兩條切線相互垂直？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

設(shè)點(diǎn)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),為橢圓上任意一點(diǎn),且的最小值為.
（I）求橢圓的方程;
（II）設(shè)直線（直線、不重合）,若、均與橢圓相切，試探究在軸上是否存在定點(diǎn),使點(diǎn)到、的距離之積恒為1?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)，.
（Ⅰ）若（點(diǎn)在第一象限），求直線的方程；
（Ⅱ）求證：為定值（點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C:,定點(diǎn)M(0,5),直線與軸交于點(diǎn)F,O為原點(diǎn),若以O(shè)M為直徑的圓恰好過(guò)與拋物線C的交點(diǎn).
（1）求拋物線C的方程;
（2）過(guò)點(diǎn)M作直線交拋物線C于A,B兩點(diǎn),連AF,BF延長(zhǎng)交拋物線分別于,求證: 拋物線C分別過(guò)兩點(diǎn)的切線的交點(diǎn)Q在一條定直線上運(yùn)動(dòng).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為,，一個(gè)頂點(diǎn)為.
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）是否存在斜率為的直線，使直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，滿足. 若存在，求出的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知拋物線與直線相交于A、B 兩點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）當(dāng)的面積等于時(shí),求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：＝1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F2和上下兩個(gè)頂點(diǎn)B1，B2是一個(gè)邊長(zhǎng)為2且∠F1B1F2為60°的菱形的四個(gè)頂點(diǎn)．
(1)求橢圓C的方程；
(2)過(guò)右焦點(diǎn)F2的斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓C相交于E、F兩點(diǎn)，A為橢圓的右頂點(diǎn)，直線AE，AF分別交直線x＝3于點(diǎn)M，N，線段MN的中點(diǎn)為P，記直線PF2的斜率為k′，求證： k·k′為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

已知點(diǎn)是雙曲線右支上一點(diǎn)，是雙曲線的左焦點(diǎn)，且雙曲線的一條漸近線恰是線段的中垂線，則該雙曲線的離心率是(      )
A．B．C．D．

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