已知橢圓C：＝1(a>b>0)的兩個焦點F1，F2和上下兩個頂點B1，B2是一個邊長為2且∠F1B1F2為60°的菱形的四個頂點．
(1)求橢圓C的方程；
(2)過右焦點F2的斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓C相交于E、F兩點，A為橢圓的右頂點，直線AE，AF分別交直線x＝3于點M，N，線段MN的中點為P，記直線PF2的斜率為k′，求證： k·k′為定值．
（1）＝1（2）－
(1)解　由條件知a＝2，b＝，故所求橢圓方程為＝1.
(2)證明　設(shè)過點F2(1,0)的直線l方程為：y＝k(x－1)，設(shè)點E(x1，y1)，點F(x2，y2)，將直線l方程y＝k(x－1)代入橢圓C的方程＝1，整理得：(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，因為點F2在橢圓內(nèi)，所以直線l和橢圓相交，Δ>0恒成立，且x1＋x2＝，x1x2＝.
直線AE的方程為：y＝(x－2)，直線AF的方程為：y＝(x－2)，令x＝3得點M，N，∴點P坐標為，
直線PF2的斜率為k′＝＝＝·.
將x1＋x2＝，x1x2＝代入上式得：
k′＝＝.
所以k·k′為定值－.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

拋物線的方程為，過拋物線上一點()作斜率為的兩條直線分別交拋物線于兩點(三點互不相同)，且滿足（且）．
（1）求拋物線的焦點坐標和準線方程；
（2）設(shè)直線上一點，滿足，證明線段的中點在軸上；
（3）當=1時，若點的坐標為，求為鈍角時點的縱坐標的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線x2-y2=2若直線n的斜率為2 ，直線n與雙曲線相交于A、B兩點，線段AB的中點為P，
(1)求點P的坐標（x,y)滿足的方程（不要求寫出變量的取值范圍）；
(2)過雙曲線的左焦點F1，作傾斜角為的直線m交雙曲線于M、N兩點，期中，F(xiàn)2是雙曲線的右焦點，求△F2MN的面積S關(guān)于傾斜角的表達式。

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知點、，動點滿足：，且
（1）求動點的軌跡的方程；
（2）已知圓W： 的切線與軌跡相交于P，Q兩點，求證：以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標原點.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓，左、右兩個焦點分別為、，上頂點，為正三角形且周長為6，直線與橢圓相交于兩點.
（1）求橢圓的方程；
（2）求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線的頂點在坐標原點，對稱軸為軸，焦點為,拋物線上一點的橫坐標為2，且.
(1)求拋物線的方程；
(2)過點作直線交拋物線于，兩點,求證: .

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓：經(jīng)過如下五個點中的三個點：，，，，.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)點為橢圓的左頂點，為橢圓上不同于點的兩點，若原點在的外部，且為直角三角形，求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示,設(shè)橢圓的中心為原點O,長軸在x軸上,上頂點為A,左、右焦點分別為F1、F2,線段OF1、OF2的中點分別為B1、B2,且△AB1B2是面積為4的直角三角形.

(1)求該橢圓的離心率和標準方程;
(2)過B1作直線交橢圓于P、Q兩點,使PB2⊥QB2,求△PB2Q的面積.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的焦點坐標為F1(－1,0)，F2(1,0)，過F2垂直于長軸的直線交橢圓于P，Q兩點，且|PQ|＝3.
(1)求橢圓的方程；
(2)過F2的直線l與橢圓交于不同的兩點M，N，則△F1MN的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及此時的直線方程；若不存在，請說明理由．

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