Question

設(shè)a為實數(shù)，記函數(shù)f(x)＝a＋＋的最大值為g(a)．

(1)設(shè)t＝＋，求t的取值范圍，并把f(x)表示為t的函數(shù)m(t)；

(2)求g(a)；

(3)試求滿足g(a)＝g()的所有實數(shù)a．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵t＝， 　　∴要使t有意義，必須1＋x≥0且1－x≥0，即－1≤x≤1． 　　∵t2＝2＋2∈[2，4]，且t≥0，① 　　∴t的取值范圍是[，2]． 　　由①得＝t2－1， 　　∴m(t)＝a(t2－1)＋t＝at2＋t－a，t∈[，2]． 　　(2)由題意知g(a)即為函數(shù)m(t)＝at2＋t－a，t∈[，2]的最大值． 　　∵直線t＝是拋物線m(t)＝at2＋t－a的對稱軸， 　　∴可分以下幾種情況進行討論： 　　(i)當(dāng)a＞0時，函數(shù)y＝m(t)，t∈[，2]的圖象是開口向上的拋物線的一段， 　　由t＝＜0知m(t)在t∈[，2]上單調(diào)遞增，故g(a)＝m(2)＝a＋2． 　　(ii)當(dāng)a＝0時，m(t)＝t，t∈[，2]，有g(shù)(a)＝2． 　　(iii)當(dāng)a＜0時，函數(shù)y＝m(t)，t∈[，2]的圖象是開口向下的拋物線的一段， 　　若t＝∈(0，]，即a≤時，g(a)＝m()＝． 　　若t＝∈(，2]，即a∈(，]時，g(a)＝m()＝－aa． 　　若t＝－∈(2，＋∞)，即a∈(，0)時，g(a)＝m(2)＝a＋2． 　　綜上所述，有g(shù)(a)＝ 　　(3)當(dāng)a＞時，g(a)＝a＋2＞＞； 　　當(dāng)＜a≤時，－a∈[，)，－a∈(，1]，∴－a≠， 　　g(a)＝－a＞＝．故當(dāng)a＞時，g(a)＞． 　　當(dāng)a＞0時，＞0，由g(a)＝g()知a＋2＝＋2，故a＝1． 　　當(dāng)a＜0時，a·＝1，故a≤－1或≤－1，從而有g(shù)(a)＝或g()＝． 　　要使g(a)＝g()，必須有a≤，≤，即－≤a≤． 　　此時，g(a)＝＝g()． 　　綜上所述，滿足g(a)＝g()的所有實數(shù)a為－≤a≤或a＝1．