設(shè)a為實(shí)數(shù),記函數(shù)f(x)=a
1-x2
+
1+x
+
1-x
的最大值為g(a).
(1)設(shè)t=
1+x 
+
1-x
,求t的取值范圍,并把f(x)表示為t的函數(shù)m(t);
(2)求g(a);
(3)試求滿足g(a)=g(
1
a
)的所有實(shí)數(shù)a.
分析:(1)令t=
1+x 
+
1-x
,由1+x≥0且1-x≥0,得-1≤x≤1,進(jìn)而得m(t)的解析式.
(2)由題意知g(a)即為函數(shù)m(t)=
1
2
at2+t-a,t∈[
2
,2]的最大值,分a>0、a=0、a<0三種情況利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)f(x)的最大值為g(a);
(3)分類(lèi)討論,求得g(a)的范圍,即可求得滿足g(a)=g(
1
a
)的所有實(shí)數(shù)a.
解答:解:(1)∵t=
1+x 
+
1-x
,要使t有意義,必須1+x≥0且1-x≥0,即-1≤x≤1.
∵t2=2+2
1-x2
∈[2,4],且t≥0…①,
∴t的取值范圍是[
2
,2].
由①得:
1-x2
=
1
2
t2-1,∴m(t)=a(
1
2
t2-1)+t=
1
2
at2+t-a,t∈[
2
,2].
(2)由題意知g(a)即為函數(shù)m(t)=
1
2
at2+t-a,t∈[
2
,2]的最大值,
∵直線t=-
1
a
是拋物線m(t)=
1
2
at2+t-a的對(duì)稱軸,∴可分以下幾種情況進(jìn)行討論:
1°當(dāng)a>0時(shí),函數(shù)y=m(t),t∈[
2
,2]的圖象是開(kāi)口向上的拋物線的一段,
由t=-
1
a
<0知m(t)在t∈[
2
,2]上單調(diào)遞增,故g(a)=m(2)=a+2;
2°當(dāng)a=0時(shí),m(t)=t,在t∈[
2
,2]上單調(diào)遞增,有g(shù)(a)=2;
3°當(dāng)a<0時(shí),函數(shù)y=m(t),t∈[
2
,2]的圖象是開(kāi)口向下的拋物線的一段,
若t=-
1
a
∈(0,
2
]即a≤-
2
2
時(shí),g(a)=m(
2
)=
2
,
若t=-
1
a
∈(
2
,2]即a∈(-
2
2
,-
1
2
]時(shí),g(a)=m(-
1
a
)=-a-
1
2a
,
若t=-
1
a
∈(2,+∞)即a∈(-
1
2
,0)時(shí),g(a)=m(2)=a+2.
綜上所述,有g(shù)(a)=
a+2,a>-
1
2
-a-
1
2a
,-
2
2
<a≤-
1
2
2
,a≤-
2
2
;
(3)當(dāng)a>-
1
2
時(shí),g(a)=a+2>
3
2
2

a∈(-
2
2
,-
1
2
]時(shí),-a∈[
1
2
2
2
],-a≠-
1
2a

g(a)=-a-
1
2a
>2
(-a)•(-
1
2a
)
=
2

∴a>-
2
2
時(shí),g(a)>
2

當(dāng)a>0時(shí),
1
a
>0,由g(a)=g(
1
a
)可得a+2=
1
a
+2
,∴a=1;
當(dāng)a<0時(shí),a•
1
a
=1,∴a≤-1或
1
a
≤-1
∴g(a)=
2
或g(
1
a
)=
2

要使g(a)=g(
1
a
),只需a≤-
2
2
,
1
a
≤-
2
2
,∴-
2
≤a≤-
2
2

綜上,滿足g(a)=g(
1
a
)的所有實(shí)數(shù)a-
2
≤a≤-
2
2
或a=1.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求法,函數(shù)解析式求解的方法,體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)a為實(shí)數(shù),記函數(shù)f(x)=asin2x+
2
sin(x+
π
4
)(x∈R)
的最大值為g(a).
(1)若a=
1
2
,解關(guān)于求x的方程f(x)=1;
(2)求g(a).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)a為實(shí)數(shù),記函數(shù)f(x)=a
1-x2
+
1+x
+
1-x
的最大值為g(a).
(1)設(shè)t=
1+x
+
1-x
,求t的取值范圍,并把f(x)表示為t的函數(shù)m(t);
(2)求g(a).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

設(shè)a為實(shí)數(shù),記函數(shù)f(x)=a
1-x2
+
1+x
+
1-x
的最大值為g(a).
(1)設(shè)t=
1+x
+
1-x
,求t的取值范圍,并把f(x)表示為t的函數(shù)m(t);
(2)求g(a).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)a為實(shí)數(shù),記函數(shù)f(x)=的最大值為g(a).

(1)設(shè)t=,求t的取值范圍,并把f(x)表示為t的函數(shù)m(t);

(2)求g(a);

(3)試求滿足g(a)=g()的所有實(shí)數(shù)a.

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