【題目】如圖,在多面體中,為矩形,為等腰梯形,,,,且,平面平面,,分別為,的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)若直線與平面所成的角的正弦值為,求多面體的體積.
【答案】(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)取的中點(diǎn).連接,,先證明平面平面,然后可證明結(jié)論.
(Ⅱ)過作,垂直為,連接,可得面平面,可得為直線與平面所成的角,在直角中,由射影定理可得,由,則,可求得,從而求得,再根據(jù)可求得體積.
解:(Ⅰ)如圖,取的中點(diǎn).連接,.
在矩形中,∵,分別為線段,的中點(diǎn),
∴.
又平面,平面,
∴平面.
在中,∵,分別為線段,的中點(diǎn),
∴.
又平面,平面,
∴平面.
又,平面,
∴平面平面.
又平面,
∴平面.
(Ⅱ)如圖,過作,垂直為,連接.
面平面平面,且平面平面,平面
所以面平面,則為在平面上的射影.
所以為直線與平面所成的角
則,則
在等腰梯形中,,,則
由,則有,
在直角中,由射影定理有,,則
在直角中,,得
又在直角中, ,得,所以
連接.
∴
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2020年4月8日零時(shí)正式解除離漢通道管控,這標(biāo)志著封城76天的武漢打開城門了.在疫情防控常態(tài)下,武漢市有序復(fù)工復(fù)產(chǎn)復(fù)市,但是仍然不能麻痹大意,仍然要保持警惕,嚴(yán)密防范、慎終如始.為科學(xué)合理地做好小區(qū)管理工作,結(jié)合復(fù)工復(fù)產(chǎn)復(fù)市的實(shí)際需要,某小區(qū)物業(yè)提供了,兩種小區(qū)管理方案,為了了解哪一種方案最為合理有效,物業(yè)隨機(jī)調(diào)查了50名男業(yè)主和50名女業(yè)主,每位業(yè)主對(duì),兩種小區(qū)管理方案進(jìn)行了投票(只能投給一種方案),得到下面的列聯(lián)表:
方案 | 方案 | |
男業(yè)主 | 35 | 15 |
女業(yè)主 | 25 | 25 |
(1)分別估計(jì),方案獲得業(yè)主投票的概率;
(2)判斷能否有95%的把握認(rèn)為投票選取管理方案與性別有關(guān).
附:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司為加強(qiáng)對(duì)銷售員的考核與管理,從銷售部門隨機(jī)抽取了2019年度某一銷售小組的月均銷售額,該小組各組員2019年度的月均銷售額(單位:萬元)分別為:3.35,3.35,3.38,3.41,3.43,3.44,3.46,3.48,3.51,3.54,3.56,3.56,3.57,3.59,3.60,3.64,3.64,3.67,3.70,3.70.
(Ⅰ)根據(jù)公司人力資源部門的要求,若月均銷售額超過3.52萬元的組員不低于全組人數(shù)的,則對(duì)該銷售小組給予獎(jiǎng)勵(lì),否則不予獎(jiǎng)勵(lì).試判斷該公司是否需要對(duì)抽取的銷售小組發(fā)放獎(jiǎng)勵(lì);
(Ⅱ)從該銷售小組月均銷售額超過3.60萬元的銷售員中隨機(jī)抽取2名組員,求選取的2名組員中至少有1名月均銷售額超過3.68萬元的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2019年春節(jié)期間,某超市準(zhǔn)備舉辦一次有獎(jiǎng)促銷活動(dòng),若顧客一次消費(fèi)達(dá)到400元?jiǎng)t可參加一次抽獎(jiǎng)活動(dòng),超市設(shè)計(jì)了兩種抽獎(jiǎng)方案.
方案一:一個(gè)不透明的盒子中裝有30個(gè)質(zhì)地均勻且大小相同的小球,其中10個(gè)紅球,20個(gè)白球,攪拌均勻后,顧客從中隨機(jī)抽取一個(gè)球,若抽到紅球則顧客獲得60元的返金券,若抽到白球則獲得20元的返金券,且顧客有放回地抽取3次.
方案二:一個(gè)不透明的盒子中裝有30個(gè)質(zhì)地均勻且大小相同的小球,其中10個(gè)紅球,20個(gè)白球,攪拌均勻后,顧客從中隨機(jī)抽取一個(gè)球,若抽到紅球則顧客獲得80元的返金券,若抽到白球則未中獎(jiǎng),且顧客有放回地抽取3次.
(1)現(xiàn)有兩位顧客均獲得抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì),且都按方案一抽獎(jiǎng),試求這兩位顧客均獲得180元返金券的概率;
(2)若某顧客獲得抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì).
①試分別計(jì)算他選擇兩種抽獎(jiǎng)方案最終獲得返金券的數(shù)學(xué)期望;
②為了吸引顧客消費(fèi),讓顧客獲得更多金額的返金券,該超市應(yīng)選擇哪一種抽獎(jiǎng)方案進(jìn)行促銷活動(dòng)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地準(zhǔn)備在山谷中建一座橋梁,橋址位置的豎直截面圖如圖所示:谷底O在水平線MN上,橋AB與MN平行,為鉛垂線(在AB上).經(jīng)測量,左側(cè)曲線AO上任一點(diǎn)D到MN的距離(米)與D到的距離a(米)之間滿足關(guān)系式;右側(cè)曲線BO上任一點(diǎn)F到MN的距離(米)與F到的距離b(米)之間滿足關(guān)系式.已知點(diǎn)B到的距離為40米.
(1)求橋AB的長度;
(2)計(jì)劃在谷底兩側(cè)建造平行于的橋墩CD和EF,且CE為80米,其中C,E在AB上(不包括端點(diǎn)).橋墩EF每米造價(jià)k(萬元)、橋墩CD每米造價(jià)(萬元)(k>0).問為多少米時(shí),橋墩CD與EF的總造價(jià)最低?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①,在等腰梯形中,,,.,交于點(diǎn).將沿線段折起,使得點(diǎn)在平面內(nèi)的投影恰好是點(diǎn),如圖.
(1)若點(diǎn)為棱上任意一點(diǎn),證明:平面平面.
(2)在棱上是否存在一點(diǎn),使得三棱錐的體積為?若存在,確定點(diǎn)的位置;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系內(nèi),點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為,,P是坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),且直線,的斜率之積等于.設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C.
(1)求軌跡C的方程;
(2)某同學(xué)對(duì)軌跡C的性質(zhì)進(jìn)行探究后發(fā)現(xiàn):若過點(diǎn)且傾斜角不為0的直線與軌跡C相交于M,N兩點(diǎn),則直線,的交點(diǎn)Q在一條定直線上.此結(jié)論是否正確?若正確,請給予證明,并求出定直線方程;若不正確,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù),).在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)、軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)若點(diǎn)在直線上,求直線的極坐標(biāo)方程;
(2)已知,若點(diǎn)在直線上,點(diǎn)在曲線上,且的最小值為,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校數(shù)學(xué)建模小組為了研究雙層玻璃窗戶中每層玻璃厚度(每層玻璃的厚度相同)及兩層玻璃間夾空氣層厚度對(duì)保溫效果的影響,利用熱傳導(dǎo)定律得到熱傳導(dǎo)量滿足關(guān)系式,其中玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)焦耳/(厘米·度),不流通、干燥空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)焦耳/(厘米·度),為室內(nèi)外溫度差,值越小,保溫效果越好,現(xiàn)有4種型號(hào)的雙層玻璃窗戶,具體數(shù)據(jù)如下表:
型號(hào) | 每層玻璃厚度(單位:厘米) | 玻璃間夾空氣層厚度(單位:厘米) |
型 | 0.4 | 3 |
型 | 0.3 | 4 |
型 | 0.5 | 3 |
型 | 0.4 | 4 |
則保溫效果最好的雙層玻璃的型號(hào)是( )
A.型B.型C.型D.型
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