Question

7．若非零函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b均有f（a+b）=f（a）•f（b），且當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞1．
（1）求證：f（x）＞0；      
（2）求證：f（x）為減函數(shù)；
（3）當(dāng)f（2）=$\frac{1}{4}$時(shí)，解不等式f（x-3）•f（5）≤$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)抽象函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行證明即可．
（2）根據(jù)抽象函數(shù)的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明f（x）在R上為減函數(shù)；
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可解不等式即可．

解答 解：（1）：f（x）=f（$\frac{x}{2}$+$\frac{x}{2}$）=f（$\frac{x}{2}$）f（$\frac{x}{2}$）=f²（$\frac{x}{2}$）＞0，
（2）x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，
∴f（x₁-x₂）=$\frac{f（{x}_{1}）}{f（{x}_{2}）}＞1$，
∵對(duì)任意的x，y∈R，總有f（x）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
即f（x）在R上為減函數(shù)．
（3）由f（4）=f（2）f（2）=$\frac{1}{16}$，得f（2）=$\frac{1}{4}$，
原不等式轉(zhuǎn)化為f（x-3+5）≤f（2），
結(jié)合（2）得：x+2≥2，得x≥0，
 故不等式的解集為[0，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷以及函數(shù)最值的求解，根據(jù)抽象函數(shù)的關(guān)系，利用賦值法是解決抽象函數(shù)的基本方法，