Question

16．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2cos2x，1），$\overrightarrow$=（2cos（2x-$\frac{π}{3}$），-1）．令f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$．
（1）求f（x）的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間．
（2）若f（$\frac{1}{4}$θ）=$\frac{2}{3}$，且θ∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），求cosθ的值．
（2）當(dāng)x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]時(shí)，求f（x）的最小值以及取得最小值時(shí)x的值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，得出結(jié)論．
（2）由f（$\frac{1}{4}$θ）=$\frac{2}{3}$，求得sin（θ+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{3}$，結(jié)合θ∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），求得cos（θ+$\frac{π}{6}$）的值．再根據(jù)cosθ=cos[（θ+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]計(jì)算求得結(jié)果．
（3）由x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]時(shí)，利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得函數(shù)f（x）取得最小值以及此時(shí)x的值．

解答 （1）f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=2cos2x•2cos（2x-$\frac{π}{3}$）-1=4cos2x（cos2xcos$\frac{π}{3}$+sin2xsin$\frac{π}{3}$）-1
=2cos²2x+2$\sqrt{3}$sin2xcos2x-1=cos4x+$\sqrt{3}$sin4x=2sin（4x+$\frac{π}{6}$），
故函數(shù)f（x）的周期為$\frac{2π}{4}$=$\frac{π}{2}$．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤4x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，可得f（x）的增區(qū)間為[得$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$]，k∈Z．
（2）若f（$\frac{1}{4}$θ）=2sin（θ+$\frac{π}{6}$）=$\frac{2}{3}$，可得sin（θ+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{3}$＜$\frac{1}{2}$，
結(jié)合θ∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），可得θ+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{5π}{6}$，π），故cos（θ+$\frac{π}{6}$）=-$\sqrt{{1-sin}^{2}θ}$=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
∴cosθ=cos[（θ+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=cos（θ+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$+sin（θ+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1-2\sqrt{6}}{6}$．
（3）當(dāng)x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]時(shí)，4x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{7π}{6}$，$\frac{13π}{6}$]，-1≤sin（4x+$\frac{π}{6}$）≤$\frac{1}{2}$，
故當(dāng)4x+$\frac{π}{6}$=$\frac{3π}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值為-2，此時(shí)，x=$\frac{π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性、定義域和值域，屬于中檔題．