Question

18．分別求滿足下列條件的直線l方程．
（1）將直線l₁：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1繞（0，1）點逆時針旋轉$\frac{π}{6}$得到直線l；
（2）直線l過直線l₁：x+3y-1=0與l₂：2x-y+5=0的交點，且點A（2，1）到l的距離為2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （2）設直線l為x+3y-1+λ（2x-y+5）=0，化成一般式再利用點到直線的距離公式，建立關于λ的方程解出λ=$\frac{2}{3}$或-4，由此即可得到所求直線l的方程．

解答 解：（1）∵直線l₁的傾斜角為$\frac{π}{6}$，將直線l₁逆時針旋轉$\frac{π}{6}$得到直線l；
∴直線l的傾斜角應為$\frac{π}{3}$，
所以直線l的斜率k=$\sqrt{3}$，
又∵直線l過（0，1），∴直線l的方程為：y-1=$\sqrt{3}$x，
即$\sqrt{3}$x-y+1=0．
（2）根據題意，設直線l為x+3y-1+λ（2x-y+5）=0，
整理得（2λ+1）x+（3-λ）y-1+5λ=0，
∵點A（2，1）到l的距離為2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{|4+8λ|}{\sqrt{{（2λ+1）}^{2}{+（3-λ）}^{2}}}$=2$\sqrt{2}$，解之得λ=$\frac{2}{3}$或-4，
所以直線l方程為x+y+1=0或x-y+3=0．

點評 本題給出直線l滿足的條件，求直線l的方程，著重考查了直線的基本量與基本形式、點到直線的距離公式等知識，屬于基礎題．