Question

如圖，已知在側(cè)棱垂直于底面的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=

2

，且AC⊥BC，點(diǎn)D是A₁B₁中點(diǎn)．
（1）求證：平面AC₁D⊥平面A₁ABB₁；
（2）若直線AC₁與平面A₁ABB₁所成角的正弦值為

10

10

，求三棱錐A₁-AC₁D的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,平面與平面垂直的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）根據(jù)已知條件，利用直線與平面垂直的判定定理，能推導(dǎo)出C₁D⊥面A₁ABB₁，由此能夠證明平面AC₁D⊥平面A₁ABB₁．
（2）由（1）可知C₁D⊥平面A₁ABB₁，所以AC₁與平面A₁ABB₁所成的角為∠C₁AD，由此利用已知條件能求出三棱錐A₁-AC₁D的體積．

解答： （1）證明：在側(cè)棱垂直于底面的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵AA₁⊥面A₁B₁C₁，C₁D?面A₁B₁C₁，
∴C₁D⊥AA₁，
∵AC=BC=

2

，∴A₁C₁=B₁C₁=

2

，
∵點(diǎn)D是A₁B₁中點(diǎn)，∴C₁D⊥A₁B₁，
∵AA₁∩A₁B₁=A₁，
∴C₁D⊥面A₁ABB₁，
∵C₁D?面A₁B₁C₁，
∴平面AC₁D⊥平面A₁ABB₁．…（6分）
（2）由（1）可知C₁D⊥平面A₁ABB₁，
∴AC₁與平面A₁ABB₁所成的角為∠C₁AD，
在RT△C₁AD中，由sin∠C1AD=

C1D

AC1

=

10

10

，
∴A1A=2

2

，
∴VA1-AC1D=VC1-A1AD
=

1

3

S△A1AD．C1D=

2

3

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的證明，考查三棱錐體積的求法，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)，注意化空間問(wèn)題為平面問(wèn)題．