Question

已知圓C₁：（x+

6

2

）²+y²=

25

8

，圓C₂：（x-

6

2

）²+y²=

1

8

，動(dòng)圓P與已知兩圓都外切．
（1）求動(dòng)圓的圓心P的軌跡E的方程；
（2）直線l：y=kx+1與點(diǎn)P的軌跡E交于不同的兩點(diǎn)A、B，AB的中垂線與y軸交于點(diǎn)N，求點(diǎn)N的縱坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,圓與圓的位置關(guān)系及其判定

專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）求出已知兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑，由兩圓的位置關(guān)系求得|PC₁|，|PC₂|，由|PC1|-|PC2|=

2

＜|C1C2|=

6

知點(diǎn)P在以C₁，C₂為焦點(diǎn)的雙曲線右支上，從而求得E的方程；
（2）聯(lián)立直線和雙曲線方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)出A，B的坐標(biāo)，由根與系數(shù)關(guān)系得到A，B的橫縱坐標(biāo)的和，求出AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，由直線方程的點(diǎn)斜式得到AB的中垂線方程，表示出直線在y軸上的截距后由k的范圍得答案．

解答： 解：（1）已知兩圓的圓心半徑分別為C1：(-

6

2

，0)，r1=

5 2

4

，
C2：(

6

2

，0)，r2=

2

4

，
設(shè)動(dòng)圓P的半徑為r，
由題意知|PC1|=r+

5 2

4

，|PC2|=r+

2

4

，
則|PC1|-|PC2|=

2

＜|C1C2|=

6

．
則點(diǎn)P在以C₁，C₂為焦點(diǎn)的雙曲線右支上，其中2a=

2

，2c=

6

，則b2=(

6

2

)2-(

2

2

)2=1，
求得E的方程為2x²-y²=1（x＞0）；
（2）將直線y=kx+1代入雙曲線方程，并整理得（k²-2）x²+2kx+2=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點(diǎn)為M（x₀，y₀）．
依題意，直線l與雙曲線的右支交于不同兩點(diǎn)，故

k2-2≠0 △=(2k)2-8(k2-2)＞0 x1+x2=- 2k k2-2 ＞0 x1x2= 2 k2-2 ＞0

⇒-2＜k＜-

2

．
且x0=

-k

k2-2

，y0=kx0+1=

-2

k2-2

．
則AB的中垂線方程為y+

2

k2-2

=-

1

k

(x+

k

k2-2

)．
令x=0，得yN=

3

2-k2

．
∵-2＜k＜-

2

，∴yN＜-

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軌跡方程，考查了圓與圓的位置關(guān)系，考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，涉及直線與圓錐曲線位置關(guān)系問(wèn)題，常把直線方程和曲線方程聯(lián)立，利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系解題，是高考試卷中的壓軸題．