Question

6．已知平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁，底面ABCD是邊長為1的正方形，AA₁=2，∠A₁AB=∠A₁AD=120°，則異面直線AC₁與A₁D所成角的余弦值為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{10}}}{5}$
• C． $\frac{\sqrt{15}}{5}$
• D． $\frac{{\sqrt{14}}}{7}$

Answer 1

分析 解：設(shè)$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{C{C}_{1}}$=$\overrightarrow{c}$，則$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=$\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=$\overrightarrow-\overrightarrow{c}$，由此利用向量法能求出異面直線AC₁與A₁D所成角的余弦值．

解答 解：設(shè)$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{C{C}_{1}}$=$\overrightarrow{c}$，
則$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=$\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=$\overrightarrow-\overrightarrow{c}$，
∵平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁，底面ABCD是邊長為1的正方形，AA₁=2，∠A₁AB=∠A₁AD=120°，
∴$\overrightarrow{A{C}_{1}}•\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow-\overrightarrow{c}$）
=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}+{\overrightarrow}^{2}-\overrightarrow•\overrightarrow{c}+\overrightarrow•\overrightarrow{c}-{\overrightarrow{c}}^{2}$
=1+1-4=-2，
$|\overrightarrow{{A}_{1}D}{|}^{2}$=（$\overrightarrow-\overrightarrow{c}$）²=${\overrightarrow}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}-2\overrightarrow•\overrightarrow{c}$=1+4+2=7，
|$\overrightarrow{A{C}_{1}}$|²=（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}$）²=${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+2$\overrightarrow•\overrightarrow{c}$
=1+1+4-2-2=2，
∴$|\overrightarrow{{A}_{1}D}|$=$\sqrt{7}$，$|\overrightarrow{A{C}_{1}}|$=$\sqrt{2}$，
∴cos＜$\overrightarrow{A{C}_{1}}，\overrightarrow{{A}_{1}D}$＞=$\frac{\overrightarrow{A{C}_{1}}•\overrightarrow{{A}_{1}D}}{|\overrightarrow{A{C}_{1}}|•|\overrightarrow{{A}_{1}D}|}$=$\frac{-2}{\sqrt{2}×\sqrt{7}}$=-$\frac{\sqrt{14}}{7}$．
∴異面直線AC₁與A₁D所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{14}}{7}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查異面直線所成角的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．