Question

15．在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，$\frac{1}{a_n}-\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=\frac{2}{{{a_n}{a_{n+1}}}}（n∈{N^*}）$．
（Ⅰ）求證數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，并求它的通項公式；
（Ⅱ）${b_n}=\frac{1}{a_n^2}$，求證：${b_1}+{b_2}+…+{b_n}＜\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 （I）$\frac{1}{a_n}-\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=\frac{2}{{{a_n}{a_{n+1}}}}（n∈{N^*}）$，化為a_n+1-a_n=2，即可證明；
（II）當n≥2時，${b_n}=\frac{1}{a_n^2}$=$\frac{1}{（2n-1）^{2}}$＜$\frac{1}{4n（n-1）}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$．利用“裂項求和”與“放縮法”即可證明．

解答 證明：（I）∵$\frac{1}{a_n}-\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=\frac{2}{{{a_n}{a_{n+1}}}}（n∈{N^*}）$，
化為a_n+1-a_n=2，
∴數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，首項為1，公差為2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（II）當n≥2時，
${b_n}=\frac{1}{a_n^2}$=$\frac{1}{（2n-1）^{2}}$＜$\frac{1}{4n（n-1）}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$．
∴b₁+b₂+…+b_n$＜1+\frac{1}{4}[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）]$
=1+$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{n}）$$＜\frac{5}{4}$．
當n=1時也成立，
∴${b_1}+{b_2}+…+{b_n}＜\frac{5}{4}$．

點評 本題考查了“裂項求和”、等差數(shù)列的通項公式、遞推關(guān)系的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．