Question

對于定義在D上的函數(shù)f（x），若存在距離為d的兩條直線y=kx+m₁和y=kx+m₂，使得對任意x∈D都有kx+m₁≤f（x）≤kx+m₂恒成立，則稱函數(shù)f（x）（x∈D）有一個寬度為d的通道．給出下列函數(shù)：
①f（x）=

1

x

；
②f（x）=sinx；
③f（x）=

x2-1

；
④f（x）=

lnx

x

其中在區(qū)間[1，+∞）上通道寬度可以為1的函數(shù)有

 

（寫出所有正確的序號）．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：對4個函數(shù)逐個分析其值域或者圖象的特征，即可得出結(jié)論．

解答： 解：函數(shù)①，在區(qū)間[1，+∞）上的值域為（0，1]，
滿足0≤f（x）≤1，
∴該函數(shù)在區(qū)間[1，+∞）上通道寬度可以為1；
函數(shù)②，在區(qū)間[1，+∞）上的值域為[-1，1]，
滿足-1≤f（x）≤1，
∴該函數(shù)在區(qū)間[1，+∞）上通道寬度可以為2；
函數(shù)③，在區(qū)間[1，+∞）上的圖象是雙曲線x²-y²=1在第一象限的部分，
其漸近線為y=x，滿足x-1≤f（x）≤x，
∴該函數(shù)在區(qū)間[1，+∞）上通道寬度可以為1；
函數(shù)④，在區(qū)間[1，+∞）上的值域為[0，

1

e

]，
滿足0≤f（x）≤

1

e

＜1，
∴該函數(shù)在區(qū)間[1，+∞）上通道寬度可以為1．
故滿足題意的有①③④．
故答案為①③④．

點評：本題考查函數(shù)性質(zhì)以及函數(shù)圖象的靈活應(yīng)用，屬于中檔題．