Question

給定正整數(shù)n和正數(shù)b，對于滿足條件a₁-a²_n+1=b的所有無窮等差數(shù)列{a_n}，當(dāng)a_n+1=

 

時(shí)，y=a_n+1+a_n+2+…+a_2n+1取得最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：根據(jù)條件a₁-a²_n+1=b，表示出首項(xiàng)，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答： 解：設(shè)公差為d，則a_n+1=a₁+nd，nd=a_n+1-a₁，
則y=a_n+1+a_n+2+…a_2n+1是以a_n+1為首項(xiàng)，d為公差的等差數(shù)列的前（n+1）項(xiàng)和，
則y=a_n+1+a_n+2+…a_2n+1=（n+1）a_n+1+

n(n+1)

2

d=（n+1）（a_n+1+

nd

2

）=（n+1）[a_n+1+

1

2

（a_n+1-a₁）]=

n+1

2

（3a_n+1-a₁），
∵a₁-a²_n+1=b，
∴a₁=a²_n+1+b，
∴3a_n+1-a₁=3a_n+1-（a²_n+1+b）=-（a_n+1-

3

2

）²+

9-4b

4

≤

9-4b

4

，
當(dāng)且僅當(dāng)a_n+1=

3

2

時(shí)取等號(hào)，
即y=

n+1

2

（3a_n+1-a₁）≤

n+1

2

•

9-4b

4

=

(n+1)(9-4b)

8

，
故答案為：

3

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)和前n項(xiàng)和的計(jì)算，利用條件轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)形式是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，難度較大．