Question

如圖，拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)F在y軸上，準(zhǔn)線l與圓x²+y²=1相切．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)A、B在拋物線C上，且

FB

=2

OA

，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)出拋物線C的方程，求出準(zhǔn)線方程，利用直線與圓相切求出變量，即可得到拋物線方程；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用點(diǎn)A、B在拋物線C上，代入方程，通過(guò)

FB

=2

OA

，化簡(jiǎn)求解，即可得到A(

2

，

1

2

)點(diǎn)A的坐標(biāo)．

解答： 滿分（12分）．
解：（Ⅰ）依題意，可設(shè)拋物線C的方程為x²=2py（p＞0），
其準(zhǔn)線l的方程為y=-

p

2

．…（2分）
∵準(zhǔn)線l與圓x²+y²=1相切，
∴所以圓心（0，0）到直線l的距離d=|0-(-

p

2

)|=1，解得p=2．…（4分）
故拋物線C的方程為：x²=4y．   …（5分）
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

x 2 1 =4y1 x 2 2 =4y2

①…（6分）
∵F（0，1），

FB

=(x2，y2-1)，

OA

=(x1，y1)，

FB

=2

OA

，
∴（x₂，y₂-1）=2（x₁，y₁）=（2x₁，2y₁），
即 

x2=2x1 y2=2y1+1

…②…（9分）
②代入①，得4

x

2 1

=8y1+4，

x

2 1

=2y1+1，
又

x

2 1

=4y1，所以4y₁=2y₁+1，解得y1=

1

2

，x1=±

2

，
即A(

2

，

1

2

)或(-

2

，

1

2

)．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等．