Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）函數(shù)與函數(shù)的圖像總有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)這兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，.

（ⅰ）求的取值范圍；

（ⅱ）求證：.

Answer 1

【答案】（1）（2）（ⅰ），（ⅱ）見解析

【解析】

（1）求出的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由得切點(diǎn)由點(diǎn)斜式方程可得切線的方程；

（2）（ⅰ）函數(shù)與函數(shù)的圖像總有兩個(gè)交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)的問題，進(jìn)而研究的導(dǎo)數(shù)及圖像即可.

（ⅱ）先由 （�。� 得的單調(diào)性，分析出、不可能在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)；設(shè)，將導(dǎo)到上，利用函數(shù)在上單調(diào)性，欲證,只需證明，結(jié)合，只需證明.再構(gòu)造，結(jié)合單調(diào)性即可證明結(jié)論 ．

（1）解：由已知得，

∴∴，又∵，

曲線在點(diǎn)處的切線方程為：.

（2）（�。�令 ，

∴，

由得，；由得，易知，為極大值點(diǎn)，

又時(shí)，當(dāng)時(shí)，

即函數(shù)在時(shí)有負(fù)值存在，在時(shí)也有負(fù)值存在.

由題意，只需滿足，

∴的取值范圍是：

（ⅱ）由題意知，，為函數(shù) 的兩個(gè)零點(diǎn)，由（ⅰ）知，不妨設(shè)，則，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，欲證，

只需證明，而，

所以，只需證明.

令，則

∴.

∵，∴，即

所以，，即在上為增函數(shù)，

所以，，∴成立.

所以，.