【題目】已知函數(shù)
(1)若,當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)有唯一的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)的單調(diào)增區(qū)間為,的單調(diào)減區(qū)間為,(2)實(shí)數(shù)的取值范圍為。
【解析】
(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo),把代入導(dǎo)函數(shù)中,利用導(dǎo)函數(shù)求出的單調(diào)區(qū)間;
(2)函數(shù)有唯一的零點(diǎn)等價(jià)于方程有唯一實(shí)數(shù)根,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)與 的交點(diǎn)即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍。
(1)由題可得:,定義域?yàn)?/span>,
,
,
令得:或(舍去)
令得:或,結(jié)合定義域得:
令得:,結(jié)合定義域得:
的單調(diào)增區(qū)間為,的單調(diào)減區(qū)間為,
(2)函數(shù)有唯一的零點(diǎn)等價(jià)于只有唯一的實(shí)數(shù)根,
顯然,則只有唯一的實(shí)數(shù)根等價(jià)于關(guān)于的方程有唯一實(shí)數(shù)根,
構(gòu)造函數(shù) ,則,
令,解得: ,
令,解得:,則函數(shù)在上單調(diào)遞增;
令,解得:,則函數(shù)在上單調(diào)遞減;
的極小值為,
如圖,作出函數(shù)的大致圖像,則要使方程只有唯一實(shí)數(shù)根,只需要直線與曲線只有唯一交點(diǎn),
或,解得:或,
故實(shí)數(shù)的取值范圍為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在正方體中邊長AB為2,P為正方形A1B1C1D1四邊上的動(dòng)點(diǎn),O為底面正方形ABCD的中心,Q為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn),M,N分別為AB,BC上靠近A和C的三等分點(diǎn),若線段與OP相交且互相平分,則點(diǎn)Q的軌跡與線段MN形成的封閉圖形的面積為____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,且,其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)求函數(shù)的最大值;
(2)證明 :.
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【題目】在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側(cè)面ABB1A1為矩形,AB=2,AA1=2,D是AA1的中點(diǎn),BD與AB1交于點(diǎn)O,且CO⊥ABB1A1平面.
(1)證明:BC⊥AB1;
(2)若OC=OA,求直線CD與平面ABC所成角的正弦值.
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【題目】如圖,在三棱錐中,側(cè)面與側(cè)面均為邊長為2的等邊三角形,,為中點(diǎn).
(1)證明:平面;
(2)求點(diǎn)B到平面的距離.
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【題目】在直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線C:ρsin2θ=2acos θ(a>0),過點(diǎn)P(-2,-4)的直線l: (t為參數(shù))與曲線C相交于M,N兩點(diǎn).
(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程;
(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比數(shù)列,求實(shí)數(shù)a的值.
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