Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）討論函數(shù)的零點個數(shù).

Answer 1

【答案】(1) 的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為.

(2) 或，函數(shù)有個零點，或時，函數(shù)有兩個零點.

【解析】分析：（1）求出，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（2）對分三種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性結(jié)合函數(shù)圖象以及零點存在定理可得，或，函數(shù)有個零點，或時，函數(shù)有兩個零點.

詳解：（1）當時，

令，得，

當時，，

當時，，

所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為

（2）當時，的定義域為，

當時，即時，在上單調(diào)遞增，易知

所以函數(shù)有個零點

當時，即時，令，

得，，且，

所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

由，知，

所以，

則，

因為，

所以

所以

所以當時，函數(shù)有個零點

當時，的定義域為

令，得，，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

令，，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以（當且僅當時等號成立）

①當時，，而，，

由單調(diào)性知，

所以內(nèi)存在零點，即函數(shù)在定義內(nèi)有個兩點

②當時，，而，，

同理內(nèi)存在零點，

即函數(shù)值定義域內(nèi)存在個零點

③當時，，

所以函數(shù)在定義域內(nèi)有一個零點

綜上：或，函數(shù)有個零點，

或時，函數(shù)有兩個零點