Question

【題目】已知點A（x1 ， f（x1）），B（x2 ， f（x2））是函數f（x）=2sin（ωx+φ） 圖象上的任意兩點，且角φ的終邊經過點 ，若|f（x1）﹣f（x2）|=4時，|x1﹣x2|的最小值為 ．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求函數f（x）的單調遞增區(qū)間；
（3）當 時，不等式mf（x）+2m≥f（x）恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：角φ的終邊經過點 ，

∴ ，

∵ ，∴ ．

由|f（x1）﹣f（x2）|=4時，|x1﹣x2|的最小值為 ，得 ，

即 ，∴ω=3

∴

（2）解：由 ，

可得 ，

∴函數f（x）的單調遞增區(qū)間為 k∈z

（3）解：當 時， ，

于是，2+f（x）＞0，

∴mf（x）+2m≥f（x）等價于

由 ，得 的最大值為

∴實數m的取值范圍是 ．

【解析】（1）利用三角函數的定義求出φ的值，由|f（x1）﹣f（x2）|=4時，|x1﹣x2|的最小值為 ，可得函數的周期，從而可求ω，進而可求函數f（x）的解析式；（2）利用正弦函數的單調增區(qū)間，可求函數f（x）的單調遞增區(qū)間；（3）當 時，不等式mf（x）+2m≥f（x）恒成立，等價于 ，由此可求實數m的取值范圍．
【考點精析】掌握三角函數的最值是解答本題的根本，需要知道函數，當時，取得最小值為；當時，取得最大值為，則，，．