【題目】已知函數(shù),其中常數(shù)

(Ⅰ)當(dāng),求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;

(Ⅱ)設(shè)定義在上的函數(shù)在點處的切線方程為, 若內(nèi)恒成立,則稱為函數(shù)的“類對稱點”,當(dāng)時,試問是否存在“類對稱點”,若存在,請求出一個“類對稱點”的橫坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】(Ⅰ)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間為;(Ⅱ)當(dāng)時,函數(shù)存在“類對稱點”.

【解析】試題分析:(Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),結(jié)合的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;(Ⅱ)法一: 時,求出的導(dǎo)數(shù),得到切線方程根據(jù)新定義問題等價于當(dāng)時, ,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出即可;法二:猜想存在“類對稱點”,其中一個“類對稱點”的橫坐標為,然后加以證明即可.

試題解析:(Ⅰ)解 函數(shù)的定義域為,因為

所以, 因,

,即, 由;

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間為;

(Ⅱ)解法一:當(dāng)時,

所以在點處的切線方程為

易知;

=0

當(dāng)時, ,令,則,所以函數(shù)上單調(diào)遞減,所以當(dāng)時, ,從而有時, ;

當(dāng)時, ,令,則,所以上單調(diào)遞減,所以當(dāng)時, ,從而有時, ;

所以當(dāng)時,函數(shù)不存在“類對稱點”。 ……11分

當(dāng)時, ,所以上是增函數(shù),

當(dāng)時, ,

當(dāng)時, ,

恒成立

所以當(dāng)時,函數(shù)存在“類對稱點”.

(Ⅱ)解法二

當(dāng)時,

所以在點處的切線方程為

若函數(shù)存在“類對稱點”

則等價當(dāng)時, ,當(dāng)恒成立

當(dāng)恒成立,

等價于恒成立

要使恒成立,只要單調(diào)遞增即可

所以,即當(dāng)恒成立,同理可得,

所以

所以函數(shù)存在“類對稱點”,其中一個“類對稱點”橫坐標為.

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