Question

已知函數f(x)=(x2-x-

1

a

)•eax(a＞0)
（1）當a=2時，求函數f（x）的單調區(qū)間．
（2）若不等式f(x)+

3

a

≥0對任意的x∈R恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

（1）當a=2時，
f(x)=(x2-x-

1

2

)•e2x
f'（x）=e^2x•（2x²-2）=2e^2x•（x+1）（x-1）
∵x∈（-1，1）時，f'（x）＜0，x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）時，f'（x）＞0，
∴減區(qū)間為（-1，1），增區(qū)間為（-∞，-1）和（1，+∞）…（5分）
（2）f'（x）=e^ax•（ax+2）（x-1）
令f'（x）=0，則x=-

2

a

或x=1
∵a＞0
列表

x	（-∞，- 2 a ）	- 2 a	（- 2 a ，1）	1	（1，+∞）
f'x	+	0	-	0	+
f（x）		極大值		極小值

∴當x=1時，f（x）有最小值f(1)=-

1

a

ea＜0
∴依題意-

1

a

ea≥-

3

a

即可
∴e^a≤3?a≤ln3
解得0＜a≤ln3…（12分）