Question

【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的取值范圍；

（3）若，從數(shù)列中抽出部分項(xiàng)（奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)均不少于兩項(xiàng)），將抽出的項(xiàng)按照某一順序排列后構(gòu)成等差數(shù)列.當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的項(xiàng)數(shù)最大時(shí)，求所有滿足條件的等差數(shù)列.

Answer 1

【答案】（1）（2）；（3），，，，和，，，，.

【解析】

（1）利用，求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.

（2）由（1）求得的表達(dá)式，然后利用裂項(xiàng)求和法求得的前項(xiàng)和.利用差比較法證得數(shù)列遞增，進(jìn)而求得的取值范圍.

（3）先判斷出數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)均為奇數(shù)，偶數(shù)項(xiàng)均為偶數(shù).然后假設(shè)抽出的數(shù)列中有三個(gè)偶數(shù)，推出矛盾，由此證得偶數(shù)只有兩項(xiàng).進(jìn)而證得奇數(shù)最多有項(xiàng).由此求得所有滿足條件的等差數(shù)列.

（1）當(dāng)時(shí)，由，得，得，

由，得，兩式相減，得

，即，即

因?yàn)閿?shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，所以，所以

所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.

因此，，即數(shù)列的通項(xiàng)公式為.

（2）由（1）知，所以

所以

所以

令，則

所以是單調(diào)遞增數(shù)列，數(shù)列遞增，

所以，又，所以的取值范圍為.

（3）

設(shè)奇數(shù)項(xiàng)取了項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)取了項(xiàng)，其中，，，.

因?yàn)閿?shù)列的奇數(shù)項(xiàng)均為奇數(shù)，偶數(shù)項(xiàng)均為偶數(shù)，因此，若抽出的項(xiàng)按照某種順序構(gòu)成等差數(shù)列，則該數(shù)列中相鄰的項(xiàng)必定一個(gè)是奇數(shù)，一個(gè)是偶數(shù).

假設(shè)抽出的數(shù)列中有三個(gè)偶數(shù)，則每兩個(gè)相鄰偶數(shù)的等差中項(xiàng)為奇數(shù).

設(shè)抽出的三個(gè)偶數(shù)從小到大依次為，，，

則為奇數(shù)，而，，則為偶數(shù)，為奇數(shù)，所以.

又為奇數(shù)，而，，則與均為偶數(shù)，矛盾。

又因?yàn)?/span>，所以，即偶數(shù)只有兩項(xiàng)，

則奇數(shù)最多有項(xiàng)，即的最大值為.

設(shè)此等差數(shù)列為，，，，，則，，為奇數(shù)，，為偶數(shù)，且.

由，得，，此數(shù)列為，，，，.

同理，若從大到小排列，此數(shù)列為，，，，.

綜上，當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的項(xiàng)數(shù)最大時(shí)，滿足條件的數(shù)列為，，，，和，，，，.