Question

設A、B分別是直線y=±

2

2

x上的動點，且|AB|=

2

，O為坐標原點，若動點P滿足

OP

=

OA

+

OB

；動點Q在動圓C₁：x²+y²=t²（1＜t＜4）上．
（1）求動點P的軌跡C₂的方程；
（2）若直線PQ與C₁和C₂均只有一個交點，求線段PQ長度的最大值并求出此時圓C₁的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）令A（t，

2

2

t），B（s，-

2

2

s） p=（x，y），由已知件推導出

x=t+s y= 2 2 (t-s)

，由此能求出動點P的軌跡C₂的方程．
（2）若直線PQ的斜率不存在．則|PQ|=0；若直線PQ的斜率存在，設其方程為y=kx+m，P（x₁，y₂），Q（x₂，y₂），
聯立

y=kx+m x2 4 +y2=1

，得（4k²+1）x²+8kmx+4（m²-1）=0，由此利用韋達定理和根的判別式能求出|PQ|的最大值和此時圓C₁的方程．

解答： 解：（1）令A（t，

2

2

t），B（s，-

2

2

s）
則p（t+s，

2

2

(t-s)）=（x，y），
∴

x=t+s y= 2 2 (t-s)

，
而|AB|²=（t-s）²+

1

2

（t+s）²=2，
∴（

2

y）²+

1

2

x2=2，
整理，得動點P的軌跡C₂的方程為

x2

4

+y2=1．
（2）若直線PQ的斜率不存在．則|PQ|=0．
若直線PQ的斜率存在，設其方程為y=kx+m，P（x₁，y₂），Q（x₂，y₂），
聯立

y=kx+m x2 4 +y2=1

，消去y，并整理，得：
（4k²+1）x²+8kmx+4（m²-1）=0，
∵直線PQ與C₁和C₂均只有一個交點，
∴△=（8km）²-16（4k²+1）（m²-1）=0，
從而m²=4k²+1，x1=-

4k

m

，①
又PQ與圓C₁相切，得

|m|

k2+1

=t，
∴m²=t²（k²+1），②
由①②得：k2=

t2-1

4-t2

，
PQ²=OP²-t²=x12+y12-t2
=x12+1-

x12

4

-t2
=1+

3

4

x12-t²
=1+

12k2

4k2+1

-t²
=5-（t²+

4

t2

）
≤5-4=1．
當且僅當t²=2，即t=

2

∈（1，4）時取得等號，
∴|PQ|的最大值為1．
此時圓C₁的方程x²+y²=1．

點評：本題考查點的軌跡方程的求法，考查線段長的最大值的求法，考查圓的方程的求法，解題時要注意均值定理的合理運用．