Question

設(shè)G是△ABC的重心．
（1）若從△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P落在△GBC內(nèi)的概率是

 

．
（2）若點(diǎn)Q落在△GBC內(nèi)（不含邊界），且

AQ

=λ

AB

+μ

AC

，則λ+μ的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何概型

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）點(diǎn)P落在△GBC內(nèi)的概率即為△GBC的面積與△ABC的面積的比值；
（2）由點(diǎn)P是△GBC內(nèi)一點(diǎn)，則λ+μ≤1，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，λ+μ最大等于1；
當(dāng)P和G重合時(shí)，λ+μ最小，此時(shí)，

AP

 =λ 

AB

+μ

AC

=

1

3

（

AB

+

AC

），λ=μ=

1

3

，λ+μ=

2

3

．

解答： 解：（1）由于G是△ABC的重心，故△GBC的面積為△ABC的面積的

1

3

，
故點(diǎn)P落在△GBC內(nèi)的概率是

1

3

；
（2）∵點(diǎn)Q是△GBC內(nèi)一點(diǎn)，則λ+μ＜1，
當(dāng)Q和G重合時(shí)，λ+μ最小，
此時(shí)，

AQ

=λ

AB

+μ

AC

=

2

3

×

1

2

（

AB

+

AC

）=

1

3

（

AB

+

AC

），
∴λ=μ=

1

3

，λ+μ=

2

3

．
故

2

3

＜λ+μ＜1，
故答案為：

1

3

；（

2

3

，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形的重心的性質(zhì)，兩個(gè)向量的加減法的法則，以及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．