Question

已知動點P到兩定點A（1，0），B（2，0）的距離的比為

2

2

．
（1）求P的軌跡C的方程；
（2）是否存在過點A（1，0）的直線l交軌跡C于點M和N使得△MON的面積為

3

2

（O為坐標原點），若存在，求l的方程，若不存在說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)P（x，y），由已知條件推導(dǎo)出

(x-1)2+y2

(x-2)2+y2

=

2

2

，由此能求出P點的軌跡方程．
（2）假設(shè)滿足條件的直線l存在．設(shè)過點A（1，0）的直線l為kx-y-k=0，求出圓心（0，0）到直線的距離d，再由S=

1

2

|MN|d=

2-d2

•d=

3

2

，能求出直線l的方程．

解答： 解：（1）設(shè)P（x，y），∵動點P到兩定點A（1，0），B（2，0）的距離的比為

2

2

，
∴

(x-1)2+y2

(x-2)2+y2

=

2

2

，
整理，得x²+y²=2，
P點的軌跡方程是x²+y²=2．
（2）假設(shè)滿足條件的直線l存在．
設(shè)過點A（1，0）的直線l：y=k（x-1），即kx-y-k=0，
圓心（0，0）到直線的距離d=

|-k|

k2+1

=

|k|

k2+1

，
S=

1

2

|MN|d=

2-d2

•d=

3

2

，
解是d=

6

2

或d=

2

2

，
d=

6

2

時，k無解；d=

2

2

時，k=1，或k=-1，
∴直線l的方程為y=x-1，或y=-（x-1）=-x+1
k不存在時，x=1，S=1，舍去．
∴直線l的方程為：y=x-1或y=-x+1．

點評：本題考查點的軌跡方程的求法，考查直線方程的求法，解題時要認真審題，注意點到直線的距離公式的合理運用．