Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足a₁=2，na_n+1=S_n+n（n+1）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅱ）設(shè)T_n為數(shù)列{

an

2n

}的前n項(xiàng)和，求T_n；
（Ⅲ）設(shè)b_n=

1

anan+1an+2

，證明：b₁+b₂+b₃+…+b_n＜

1

32

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）由a₁=2，na_n+1=S_n+n（n+1），可以推出a_n+1-a_n=2（n≥2），易證a₂=a₁+2，從而可知數(shù)列{a_n}為以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，繼而可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得

an

2n

=

2n

2n

=

n

2n-1

，利用錯(cuò)位相減法即可求得數(shù)列{

an

2n

}的前n項(xiàng)和T_n；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，b_n=

1

2n•2(n+1)•2(n+2)

=

1

16

[

1

n(n+1)

-

1

(n+1)(n+2)

]，從而可證b₁+b₂+b₃+…+b＜

1

32

．

解答： （Ⅰ）解：由n∈N^*時(shí)，na_n+1=S_n+n（n+1）①
得n≥2時(shí)，（n-1）a_n=S_n-1+（n-1）n②
①-②，得na_n+1-（n-1）a_n=a_n+2n，即a_n+1-a_n=2（n≥2）…2分
又當(dāng)n=1時(shí)，a₂=S₁+1×2，
所以，a₂=a₁+2，…3分
所以對一切正整數(shù)n，有a_n+1-a_n=2，所以數(shù)列{a_n}為以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，故a_n=2n…4分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得

an

2n

=

2n

2n

=

n

2n-1

，…5分
所以T_n=1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

，①
兩邊同乘以

1

2

，得

1

2

T_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

，②
①-②，得

1

2

T_n=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

，
整理得T=4-

n+2

2n+1

…8分
（Ⅲ）證明：由（Ⅰ）知，b_n=

1

2n•2(n+1)•2(n+2)

=

1

16

[

1

n(n+1)

-

1

(n+1)(n+2)

]…9分
所以，b₁+b₂+b₃+…+b_n=

1

16

（

1

1×2

-

1

2×3

+

1

2×3

-

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

-

1

(n+1)(n+2)

）
=

1

16

（

1

2

-

1

(n+1)(n+2)

）=

1

32

-

1

16(n+1)(n+2)

＜

1

32

…13分

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列遞推式及數(shù)列求和，著重考查錯(cuò)位相減法與裂項(xiàng)法的應(yīng)用，考查綜合運(yùn)算與推理論證能力，屬于難題．