Question

已知f（x）=x²+|2x-4|+a．
（1）當a=-3時，求不等式f（x）＞x²+|x|的解集；
（2）若不等式f（x）≥0的解集為實數(shù)集R，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：（1）當a=-3時，f（x）=x²+|2x-4|-3，通過對x的取值范圍分類討論，去掉絕對值符號，即可求得不等式f（x）＞x²+|x|的解集；
（2）f（x）≥0的解集為實數(shù)集R?a≥-x²-|2x-4|，通過對x的取值范圍分類討論，去掉絕對值符號，可求得-x²-|2x-4|的最大值為-3，從而可得實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）當a=-3時，f（x）=x²+|2x-4|-3，
當x≤0時，由f（x）＞x²+|x|得-x+1＞0，得x＜1，
∴x≤0．
當0＜x≤2時，由f（x）＞x²+|x|得-3x+1＞0，解得x＜

1

3

．
∴0＜x＜

1

3

．
當x＞2時，由f（x）＞x²+|x|得x-7＞0，解得x＞7．
∴x＞7．
當a=-3時，f（x）＞x²+|x|的解集為{x|x＜

1

3

或x＞7}．
（2）f（x）≥0的解集為實數(shù)集R?a≥-x²-|2x-4|，
當x≥2時，-x²-|2x-4|=-x²-2x+4=-（x+1）²+5≤-4，
當x＜2時，-x²-|2x-4|=-x²+2x-4=-（x-1）²-3≤-3，
∴-x²-|2x-4|的最大值為-3．
∴實數(shù)a的取值范圍為[-3，+∞）．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，著重考查分類討論思想的應用，去掉絕對值符號是解不等式的關鍵，屬于中檔題．