四棱錐P-ABCD底面是菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點．
（Ⅰ）求證：平面AEF⊥平面PAD；
（Ⅱ）H是PD上的動點，EH與平面PAD所成的最大角為45°，求二面角E-AF-C的正切值．
考點：平面與平面垂直的判定,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題
專題：空間位置關(guān)系與距離
分析：（Ⅰ）設菱形ABCD的邊長為2a，由勾股定理推導出AE⊥BC，AE⊥AD．由線面垂直得到PA⊥AE，由此能證明面AEF⊥面PAD．
（Ⅱ）過E作EQ⊥AC，垂足為Q，過作QG⊥AF，垂足為G，連GE，則∠EGQ是二面角E-AF-C的平面角．由此能求出二面角E-AF-C的正切值．
解答： （Ⅰ）證明：設菱形ABCD的邊長為2a，
則AE2=（2a）2+a2-2a•2acos60°=3a2，AE=
3
a，
BE2+AE2=AB2，∴AE⊥BC，
又AD∥BC，∴AE⊥AD．
∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥AE，AE⊥面PAD，
∴面AEF⊥面PAD．
（Ⅱ）解：過E作EQ⊥AC，垂足為Q，過作QG⊥AF，垂足為G，連GE，
∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥EQ，EQ⊥面PAC，
∴∠EGQ是二面角E-AF-C的平面角．
過點A作AH⊥PD，連接EH，
∵AE⊥面PAD，∴∠AHE是EH與面PAD所成的最大角．
∵∠AHE=45°，∴AH=AE=
3
a，
∵AH•PD=PA•AD，∴2a•PA=
3
a•
PA2+(2a)2
，PA=2
3
a，PC=4a，
EQ=
3
2
a，CQ=
1
2
a，GQ=
3
3
4
a，
∴tan∠EGQ=
EQ
GQ
=
2
3
．
點評：本題考查面面垂直的證明，考查二面角正切值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足a1=2，nan+1=Sn+n（n+1）．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式an；
（Ⅱ）設Tn為數(shù)列{
an
2n
}的前n項和，求Tn；
（Ⅲ）設bn=
1
anan+1an+2
，證明：b1+b2+b3+…+bn＜
1
32
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，點E在棱PB上．
（1）求證：AD⊥PC；
（2）求證：平面AEC⊥平面PDB．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合A={x|0＜2x+a≤3}，B={x|2x2-3x-2＜0}．
（1）當a=1時，求A∪（∁RB）；
（2）若A⊆B，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的離心率為2，坐標原點到直線AB的距離為
3
2
，其中A（0，-b），B（a，0）．
（1）求雙曲線的標準方程；
（2）設F是雙曲線的右焦點，直線l過點F且與雙曲線的右支交于不同的兩點P、Q，點M為線段PQ的中點．若點M在直線x=-2上的射影為N，滿足
PN
•
QN
=0，且|
PQ
|=10，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知等腰△ABC中，AB=BC=2，∠ACB=120°，△ABC所在平面外一點P到△ABC三頂點的距離相等且為4，求直線PC與平面ABC所成角的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為平行四邊形，AB=1，BC=
2
，∠ABC=45°，點E在PC上，AE⊥PC．
（Ⅰ）證明：AE⊥平面PCD；
（Ⅱ）當PA=
2
時，求直線AD與平面ABE所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=-
1
x
的導數(shù)為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若f（x）=x3-6ax在區(qū)間（-2，2）上單調(diào)遞減，則a的取值范圍為
 
．

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