【題目】如圖所示，直三棱柱的底面為等腰直角三角形，其中，點是線段的中點.

（Ⅰ）若點滿足，且，求的值；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）.

【解析】

（I）根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)及所給數(shù)據(jù)，將轉(zhuǎn)化為，則在中直接求解即可；

（II）建立空間直角坐標系，利用法向量即可求二面角的余弦值.

（Ⅰ）因為在側(cè)面中，，，點是棱的中點，

所以，，則.

因為平面，所以.

由，得平面，

所以，又因為，

，所以平面，

所以.

在中，，，，，

則，所以，，

又因為，所以.

（Ⅱ）

如圖：以為坐標原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，

則，，，，

，，，，

設(shè)平面的一個法向量為，

則

，令，得，

設(shè)平面的一個法向量為，

則

令，得，

設(shè)二面角的平面角為，

則，

故二面角的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）＝ax﹣（a+2）lnx2，其中a∈R．

（1）當a＝4時，求函數(shù)f（x）的極值；

（2）試討論函數(shù)f（x）在（1，e）上的零點個數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某省確定從2021年開始，高考采用“”的模式，取消文理分科，即“3”包括語文、數(shù)學(xué)、外語，為必考科目；“1”表示從物理、歷史中任選一門；“2”則是從生物、化學(xué)、地理、政治中選擇兩門，共計六門考試科目.某高中從高一年級2000名學(xué)生（其中女生900人）中，采用分層抽樣的方法抽取名學(xué)生進行調(diào)查.

（1）已知抽取的名學(xué)生中含男生110人，求的值及抽取到的女生人數(shù)；

（2）學(xué)校計劃在高二上學(xué)期開設(shè)選修中的“物理”和“歷史”兩個科目，為了了解學(xué)生對這兩個科目的選課情況，對在（1）的條件下抽取到的名學(xué)生進行問卷調(diào)杳（假定每名學(xué)生在這兩個科目中必須洗擇一個科目且只能選擇一個科目）.下表是根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到的列聯(lián)表，請將列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有的把握認為選擇科目與性別有關(guān)？說明你的理由；

性別

選擇物理

選擇歷史

總計

男生

50

女生

30

總計

（3）在（2）的條件下，從抽取的選擇“物理”的學(xué)生中按分層抽樣抽取6人，再從這6名學(xué)生中抽取2人，對“物理”的選課意向作深入了解，求2人中至少有1名女生的概率.

附：，其中.

0.100

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】近年，國家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科，某省采用3+3模式，其中語文、數(shù)學(xué)、外語三科為必考科目，滿分各150分，另外考生還要依據(jù)想考取的高校及專業(yè)的要求，結(jié)合自己的興趣愛好等因素，在思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6門科目中自選3門參加考試（6選3），每科目滿分100分.為了應(yīng)對新高考，某高中從高一年級1000名學(xué)生（其中男生550人，女生450人）中，采用分層抽樣的方法從中抽取名學(xué)生進行調(diào)查.

（1）已知抽取的名學(xué)生中含男生55人，求的值；

（2）學(xué)校計劃在高一上學(xué)期開設(shè)選修中的“物理”和“地理”兩個科目，為了了解學(xué)生對這兩個科目的選課情況，對在（1）的條件下抽取到的名學(xué)生進行問卷調(diào)查（假定每名學(xué)生在這兩個科目中必須選擇一個科目且只能選擇一個科目），下表是根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到的列聯(lián)表. 請將列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有 99%的把握認為選擇科目與性別有關(guān)？說明你的理由；

（3）在抽取到的女生中按（2）中的選課情況進行分層抽樣，從中抽出9名女生，再從這9名女生中抽取4人，設(shè)這4人中選擇“地理”的人數(shù)為，求的分布列及期望.

附：，

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知，且在區(qū)間上是增函數(shù)．

（1）求實數(shù)的值組成的集合；

（2）設(shè)函數(shù)的兩個極值點為、，試問：是否存在實數(shù)，使得不等式對任意及恒成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓過點，且其離心率為，過坐標原點作兩條互相垂直的射線與橢圓分別相交于，兩點.

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在圓心在原點的定圓與直線總相切？若存在，求定圓的方程；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2ccosB＝2a+b．

（1）求角C的大小；

（2）若△ABC的面積等于，求ab的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】手機運動計步已成為一種時尚，某中學(xué)統(tǒng)計了該校教職工一天行走步數(shù)（單位：百步），繪制出如下頻率分布直方圖：

（Ⅰ）求直方圖中的值，并由頻率分布直方圖估計該校教職工一天步行數(shù)的中位數(shù)；

（Ⅱ）若該校有教職工175人，試估計一天行走步數(shù)不大于130百步的人數(shù)；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下該校從行走步數(shù)大于150百步的3組教職工中用分層抽樣的方法選取6人參加遠足活動，再從6人中選取2人擔任領(lǐng)隊，求這兩人均來自區(qū)間的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，）.在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線的極坐標方程為.

（1）求和的普通方程；

（2）若直線l的極坐標方程為，其中滿足，若曲線和的公共點均在l上，求.

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