Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x|x-1|+m（m∈R），g（x）=lnx．
（1）記h（x）=f（x）+g（x），求函數(shù)h（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若?x∈[1，+∞），方程f（x）＞g（x）恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用絕對值的定義分段討論去絕對值，將絕對值函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，分段求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分段令相應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)大于0求出x的范圍即為單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）分離參數(shù)m，構(gòu)造新函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)求出新函數(shù)的最大值，即得到參數(shù)m的范圍．

解答：解：（1）因為函數(shù)g（x）的定義域為（0，+∞），所以h（x）的定義域為（0，+∞）
所以h(x)=

x2-x+lnx+m，x≥1 -x2+x+lnx+m，0＜x＜1.

從而得：h′(x)=

2x2-x+1 x ，x≥1 -2x2+x+1 x ，0＜x＜1.

①當(dāng)x≥1時，由h'（x）＞0得

2x2-x+1

x

＞0，即2x²-x+1＞0，其判別式△＞0恒成立，
故區(qū)間[1，+∞）是函數(shù)h（x）的單調(diào)增區(qū)間；
②當(dāng)0＜x＜1時，由h'（x）＞0得

-2x2+x+1

x

＞0得

112x2-x-1＜0 120＜x＜113

即0＜x＜1，
故區(qū)間（0，1）也是函數(shù)h（x）的單調(diào)增區(qū)間．
綜上所述，函數(shù)h（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，+∞）．
（2）由題意得：x（x-1）+m＞lnx，?x∈[1，+∞）恒成立，
即m＞-x（x-1）+lnx，?x∈[1，+∞）恒成立，
設(shè)F（x）=-x²+x+lnx，x∈[1，+∞），則
F′(x)=-2x+1+

1

x

=-

(x-1)(2x+1)

x

，
顯然，當(dāng)x∈[1，+∞）時，F(xiàn)（x）≤0恒成立，
所以，F(xiàn)（x）在區(qū)間[1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，
所以[F（x）]_max=F（1）=0，
所以m的取值范圍是（0，+∞）．

點評：求分段函數(shù)的問題，應(yīng)該分段求，然后將求出的各段并起來即為整個函數(shù)的性質(zhì)；解決不等式恒成立求最值的問題，一般分離參數(shù)構(gòu)造新函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求新函數(shù)的最值．