Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x|x-a|，若對(duì)于任意的x₁，x₂∈[2，+∞），x₁≠x₂，不等式＞0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：首先由函數(shù)單調(diào)性定義，判斷f（x）=x|x-a|在[2，+∞）上單調(diào)遞增；然后把a(bǔ)分成a≤2與a＞2兩種情況分別進(jìn)行檢驗(yàn)；最后得到只有a≤2時(shí)，才滿足f（x）=x|x-a|在[2，+∞）上單調(diào)遞增的結(jié)論．
解答：解：由題意知f（x）=x|x-a|在[2，+∞）上單調(diào)遞增．
（1）當(dāng)a≤2時(shí)，
若x∈[2，+∞），則f（x）=x（x-a）=x²-ax，其對(duì)稱(chēng)軸為x=，
此時(shí)＜2，所以f（x）在[2，+∞）上是遞增的；
（2）當(dāng)a＞2時(shí)，
①若x∈[a，+∞），則f（x）=x（x-a）=x²-ax，其對(duì)稱(chēng)軸為x=，所以f（x）在[a，+∞）上是遞增的；
②若x∈[2，a），則f（x）=x（a-x）=-x²+ax，其對(duì)稱(chēng)軸為x=，所以f（x）在[，a）上是遞減的，因此f（x）
在[2，a）上必有遞減區(qū)間．
綜上可知a≤2．
故答案為（-∞，2]．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)單調(diào)性的定義，同時(shí)考查了分類(lèi)討論的思想方法．