【題目】已知A,B,C分別為△ABC的三邊a,b,c所對的角,向量=(sin A,sin B),=(cos B,cos A),且=sin 2C.
(1)求角C的大。
(2)若sin A,sin C,sin B成等差數(shù)列,且,求邊c的長.
【答案】(1);(2)6
【解析】
(1)由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及兩角和的正弦公式可得:sin 2C=sin C,再結(jié)合二倍角的正弦公式即可得解;
(2)由正弦定理可得2c=a+b,結(jié)合題設(shè)可得ab=36,再由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C運(yùn)算即可得解.
解:(1)由已知得=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B),
因?yàn)?/span>A+B+C=π,
所以sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,
所以=sin C,又=sin 2C,
所以sin 2C=sin C,即,
,,所以cos C=,所以C=.
(2)因?yàn)?/span>sin A,sin C,sin B成等差數(shù)列,
則,
由正弦定理得2c=a+b.
因?yàn)?/span>,即,
所以abcos C=18,所以ab=36.
由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-3ab,
所以c2=4c2-3×36,
所以c2=36,所以c=6.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在半徑為的半圓形鐵皮上截取一塊矩形材料ABCD(點(diǎn)A、B在直徑上,點(diǎn)C、D在半圓周上),并將其卷成一個以AD為母線的圓柱體罐子的側(cè)面(不計剪裁和拼接損耗),
(1)若要求圓柱體罐子的側(cè)面積最大,應(yīng)如何截?
(2)若要求圓柱體罐子的體積最大,應(yīng)如何截?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓O:,直線l:.
若直線l與圓O交于不同的兩點(diǎn)A、B,當(dāng)為銳角時,求k的取值范圍;
若,P是直線l上的動點(diǎn),過P作圓O的兩條切線PC、PD,切點(diǎn)為C、D,則直線CD是否過定點(diǎn)?若是,求出定點(diǎn),并說明理由.
若EF、GH為圓O的兩條相互垂直的弦,垂足為,求四邊形EGFH的面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】事件一:假設(shè)某地區(qū)有高中生2400人,初中生10900人,小學(xué)生11000人.為了了解該地區(qū)學(xué)生的視力健康狀況,從中抽取的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.事件二:某校為了了解高一年級學(xué)生對教師教學(xué)的滿意率,打算從高一年級500名學(xué)生中抽取50名進(jìn)行調(diào)查.對于事件一和事件二,恰當(dāng)?shù)某闃臃椒ǚ謩e是( )
A. 系統(tǒng)抽樣,分層抽樣
B. 系統(tǒng)抽樣,簡單隨機(jī)抽樣
C. 簡單隨機(jī)抽樣,系統(tǒng)抽樣
D. 分層抽樣,系統(tǒng)抽樣
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱ABCA1B1C1中,AB AC,點(diǎn)E,F分別在棱BB1,CC1上(均異于端點(diǎn)),且∠ABE∠ACF,AE⊥BB1,AF⊥CC1.
求證:(1)平面AEF⊥平面BB1C1C;
(2)BC //平面AEF.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)等比數(shù)列a1,a2,a3,a4的公比為q,等差數(shù)列b1,b2,b3,b4的公差為d,且.記(i1,2,3,4).
(1)求證:數(shù)列不是等差數(shù)列;
(2)設(shè), .若數(shù)列是等比數(shù)列,求b2關(guān)于d的函數(shù)關(guān)系式及其定義域;
(3)數(shù)列能否為等比數(shù)列?并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,將△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,構(gòu)成三棱錐A﹣BCD,則在三棱錐A﹣BCD中,下列判斷正確的是_____.(寫出所有正確的序號)
①平面ABD⊥平面ABC
②直線BC與平面ABD所成角是45°
③平面ACD⊥平面ABC
④二面角C﹣AB﹣D余弦值為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方體的棱長為2,、分別為棱、上的點(diǎn),且與頂點(diǎn)不重合.
(1)若直線與相交于點(diǎn),求證:、、三點(diǎn)共線;
(2)若、分別為、的中點(diǎn).
(ⅰ)求證:幾何體為棱臺;
(ⅱ)求棱臺的體積.
(附:棱臺的體積公式,其中、分別為棱臺上下底面積,為棱臺的高)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在長方形中, , ,現(xiàn)將沿折起,使折到的位置且在面的射影恰好在線段上.
(Ⅰ)證明: ;
(Ⅱ)求銳二面角的余弦值.
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