Question

設函數(shù)f（x）=-x³-2mx²-m²x+1-m（其中m＞-2）的圖象在x=2處的切線與直線x-5y-12=0垂直．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值與零點；
（Ⅱ）設g（x）=+lnx，若對任意x₁∈[0，1]，存在x₂∈（0，1]，使f（x₁）＞g（x₂）成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）因為f'（x）=-3x²-4mx-m²，所以f'（2）=-12-8m-m²=-5，
解得：m=-1或m=-7，又m＞-2，所以m=-1，
由f'（x）=-3x²+4x-1=0，解得x₁=1，，
列表如下：

x				1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	極小值	↗	極大值2	↘

所以，f（x）_極大值=f（1）=2，
因為f（x）=-x³+2x²-x+2=-（x-2）（x²+1），
所以函數(shù)f（x）的零點是x=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當x∈[0，1]時，，
“對任意x₁∈[0，1]，存在x₂∈（0，1]，使f（x₁）＞g（x₂）”等價于“f（x）在[0，1]上的最小值大于g（x）在（0，1]上的最小值，
即當x∈（0，1]時，”，
因為，
①當k＜0時，因為x∈（0，1]，
所以，符合題意；
②當0＜k≤1時，，
所以x∈（0，1]時，g'（x）≤0，g（x）單調遞減，
所以，符合題意；
③當k＞1時，，
所以時，g'（x）＜0，g（x）單調遞減，時，g'（x）＞0，g（x）單調遞增，
所以x∈（0，1]時，，
令（0＜x＜1），則，
所以φ（x）在（0，1）上單調遞增，
所以x∈（0，1）時，，即，
所以，符合題意，
綜上所述，若對任意x₁∈[0，1]，存在x₂∈（0，1]，使f（x₁）＞g（x₂）成立，
則實數(shù)k的取值范圍是（-∞，0）∪（0，+∞）．
分析：（Ⅰ）由f（x）在x=2處的切線與直線x-5y-12=0垂直可得f′（2）=-5，從而可求得m值，利用導數(shù)即可求得其極值，對于f（x）的零點可轉化為f（x）=0的根求解；
（Ⅱ）“對任意x₁∈[0，1]，存在x₂∈（0，1]，使f（x₁）＞g（x₂）”等價于“f（x）在[0，1]上的最小值大于g（x）在（0，1]上的最小值，
由（Ⅰ）易求f（x）_min，利用導數(shù)可求g（x）在（0，1]上的最小值，注意按k的范圍進行討論．
點評：本題考查導數(shù)的綜合應用：求函數(shù)極值、最值及不等式恒成立問題，考查分類討論思想，考查學生綜合運用知識分析問題解決問題的能力．