Question

（2006•嘉定區(qū)二模）如圖，在四面體ABCD中，AB=CD=6，異面直線AB、CD所成角的大小是arccos

1

3

，M、N分別是AC、BD的中點(diǎn)．求線段MN的長．

Answer 1

分析：取AD中點(diǎn)E，連結(jié)EM、EN，則EM∥CD，EN∥AB，于是∠MEN（或其補(bǔ)角）是異面直線AB與CD所成的角，利用余弦定理構(gòu)造MN的方程可得答案．

解答：解：取AD中點(diǎn)E，連結(jié)EM、EN，則EM∥CD，EN∥AB，于是∠MEN（或其補(bǔ)角）是異面直線AB與CD所成的角…（1分）
當(dāng)cos∠MEN=

1

3

，則MN2=ME2+NE2-2•ME•NE•

1

3

=32+32-2•3•3•

1

3

=12，MN=2

3

…（6分）
當(dāng)cos∠MEN=-

1

3

，
則MN2=ME2+NE2+2•ME•NE•

1

3

=32+32+2•3•3•

1

3

=24，MN=2

6

…（11分）
∴MN的長為2

3

或2

6

．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是空間兩點(diǎn)之間的距離，其中作輔助線構(gòu)造出∠MEN（或其補(bǔ)角）是異面直線AB與CD所成的角，是解答的關(guān)鍵．