Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，①已知點(diǎn)，直線：，動(dòng)點(diǎn)滿足到點(diǎn)的距離與到直線的距離之比為；②已知圓的方程為，直線為圓的切線，記點(diǎn)到直線的距離分別為，動(dòng)點(diǎn)滿足；③點(diǎn)，分別在軸，軸上運(yùn)動(dòng)，且，動(dòng)點(diǎn)滿足．

（1）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；

（2）記（1）中的軌跡為，經(jīng)過點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，若線段的垂直平分線與軸相交于點(diǎn)，求點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）不論選哪種條件，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程（2）

【解析】

（1）選①,可以用直接法求軌跡方程，選②，可以用待定系數(shù)法求軌跡方程，選③，可以用代入法求軌跡方程；（2）設(shè)，當(dāng)斜率不存在時(shí)，，當(dāng)斜率不存在時(shí)，求出，得到或，綜合即得解.

（1）若選①，

設(shè)，根據(jù)題意，，

整理得，

所以所求的軌跡方程為．

若選②，

設(shè)，直線與圓相切于點(diǎn)，

則，

由橢圓定義知，點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，

所以，

故，

所以所求的軌跡方程為．

若選③，

設(shè)，，，

則，

因?yàn)?/span>，

所以，

整理得，

代入得，

所以所求的軌跡方程為

（2）設(shè)，當(dāng)斜率不存在時(shí)，，

當(dāng)斜率存在時(shí)，

設(shè)直線的方程為，，，

由，消去并整理，

得，

恒成立，，

設(shè)線段的中點(diǎn)為，

則，

所以線段的垂直平分線方程為：

，

令，得，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以；

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以；

綜上，點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍是