Question

1．如圖：一個圓錐的底面半徑為1，高為3，在其中有一個半徑為x的內接圓柱．
（1）試用x表示圓柱的高；
（2）當x為何值時，圓柱的側面積最大，最大側面積是多少？

Answer 1

分析 （1）由題意作出幾何體的軸截面，根據軸截面和比例關系列出方程，求出圓柱的高的表達式．
（2）由（1）求出的側面面積的表達式，根據二次函數的性質求出側面面積的最大值．

解答 解：（1）設所求的圓柱的底面半徑為x，它的軸截面如圖：BO=1，PO=3，圓柱的高為：h
由圖得，$\frac{x}{1}=\frac{3-h}{3}$，即h=3-3x．
（2）S_圓柱側=2πhx=2π（3-3x）x（5分）
=6π（x-x²），當x=$\frac{1}{2}$時，函數取得最大值為：$\frac{3}{2}π$．
∴當圓柱的底面半徑為$\frac{1}{2}$時，它的側面積最大為$\frac{3}{2}π$（10分）

點評 本題的考點是簡單組合體的面積問題，關鍵是作出軸截面，求出長度之間的關系式，表示出面積后利用函數的思想求出最值，考查了數形結合思想和函數思想．