Question

16．設函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$
（1）證明：函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（2）證明：函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）利用奇函數(shù)的定義，即可證明；
（2）利用導數(shù)大于0，即可證明．

解答 證明：（1）函數(shù)的定義域為R，
∴f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{2（{2}^{x}+1）}$
∴f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{2（{2}^{-x}+1）}$=-$\frac{{2}^{x}-1}{2（{2}^{x}+1）}$=-f（x），
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（2）∵f（x）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$
∴f′（x）=-$\frac{{-2}^{x}ln2}{（{2}^{x}+1）^{2}}$＞0
∴函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)．

點評 本題考查函數(shù)的單調性、奇偶性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．