Question

已知函數(shù)f（x）=ae^x+

1

2

x²+bx，曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線為y-1=0．
（1）求f（x）的解析式及單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）≥

1

2

x²+x+m，求m的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求f（x）的解析式及單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)的表達(dá)式，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，解不等式即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=ae^x+x+b，
∵直線y-1=0的斜率為0，且過(guò)點(diǎn)（0，1），
∴

f(0)=1 f′(0)=0

，即

a=1 a+b=0

，解得a=1，b=-1．
∴f（x）的解析式為f（x）=e^x+

1

2

x²-x，
∵f′（x）=e^x+x-1，
∴當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）=e^x+x-1＜0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）=e^x+x-1＞0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
即函數(shù)的增區(qū)間為（0，+∞），減區(qū)間為（-∞，0）．
（2）若f（x）≥

1

2

x²+x+m，
即e^x+

1

2

x²-x≥

1

2

x²+x+m，
得e^x-2x≥m，
設(shè)g（x）=e^x-2x，則g′（x）=e^x-2，
當(dāng)x＜ln2時(shí)，g′（x）=e^x-2＜0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)x＞ln2時(shí)，g′（x）=e^x-2＞0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
∴函數(shù)g（x）有最小值g（ln2）=2-2ln2，
故m≤2-2ln2，即m的最大值為2-2ln2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，進(jìn)行求導(dǎo)是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．