Question

已知f（x）=f₁（x）=|cos2πx|，x∈[0，1]，當(dāng)n≥2時(shí)，f_n（x）=f[f_n-1（x）]，則f₂₀₁₃（x）=

x

2013

實(shí)數(shù)解的個數(shù)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：推理和證明

分析：當(dāng)x=1時(shí)，f₁（x）=x有四個解；當(dāng)x=2時(shí)，f₂（x）=

x

2

有4²個解；當(dāng)x=3時(shí)，f₃（x）=

x

3

有4³個解…由此歸納出f_n（x）=

x

n

實(shí)數(shù)解有4ⁿ個，將n=2013代入可得答案．

解答： 解：當(dāng)x=1時(shí)，f₁（x）=|cos2πx|，x∈[0，1]，
此時(shí)f₁（x）=x有四個解；
當(dāng)x=2時(shí)，f₂（x）=|cos2π|cos2πx||，x∈[0，1]，
此時(shí)f₂（x）=

x

2

有4²個解；
當(dāng)x=3時(shí)，f₃（x）=|cos2π|cos2π|cos2πx|||，x∈[0，1]，
此時(shí)f₃（x）=

x

3

有4³個解；
…
由此歸納推理，f_n（x）=

x

n

實(shí)數(shù)解有4ⁿ個，
f₂₀₁₃（x）=

x

2013

實(shí)數(shù)解有4²⁰¹³個，
故答案為：4²⁰¹³

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是歸納推理，根的存在性及個數(shù)判斷，其中分析出f_n（x）=

x

n

實(shí)數(shù)解有4ⁿ個，是解答的關(guān)鍵．