Question

已知函數(shù)f(x)=

ax-1

ax+1

，
（1）判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）當(dāng)x≥0時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域；
（3）當(dāng)a＞1時(shí)，判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

（1）∵定義域?yàn)镽，且f（-x）=

a-x-1

a-x+1

=

1-ax

1+ax

=-f(x)，∴f（x）是奇函數(shù)．
（2）f（x）=

ax+1-2

ax+1

=1-

2

ax+1

，
當(dāng)a＞1時(shí)
∵x≥0
∴a^x+1≥2，
∴0＜

2

ax+1

≤1，
即f（x）的值域?yàn)閇0，1）；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)
∵x≥0
∴1＜a^x+1≤2，
∴1≤

2

ax+1

＜2，
即f（x）的值域?yàn)椋?1，0]．
∴當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）的值域?yàn)閇0，1）；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）的值域?yàn)椋?1，0]．
（3）當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)
設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=

ax1-1

ax+1

-

ax2-1

ax2+1

=

2ax1-2ax2

(ax1+1)(ax2+1)

＜0
∵分母大于零，且a x 1＜a x 2，
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）是R上的增函數(shù)．